精密型腔模具成型尺寸的多目标优化

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    前 言
    精密型腔模具成型尺寸分为三类，即型腔空腔类尺寸，型腔型芯类尺寸和中心距离类尺寸。其设计的准则是，因成型材料，模具设计制造及使用维修等各方面影响因素所造成的各种误差，都必须包含在产品零件的尺寸公差以内。这些误差，主要有因成型材料的线收缩率选用误差而造成的尺寸公差，因模具制造误差而造成的尺寸误差，模具设计维修时所预留的修模量及使用过程中的磨损量而造成的尺寸误差等。在优化时，对这些影响因素需进行综合分析，才能得到合理有效的结果。
    1 成形材料线收缩率的概率计算
    材料的线收缩率受多种因素的影响，存在一个变化范围［kmin，kmax]，将其视为随机变量，则近似于正态分布。其数学期望为(μ=kmax + kmin)/2，设其标准离差为σ，因正态随机变量取值在μ±4σ之外的概率几乎为零，故可认为kmin=μ-4σ，kmax=μ+4σ，由此二式的任一式可得σ=(kmax - kmin)/8，根据正态分布的3σ规则，实际可能的线收缩率范围［k′min ，k′max］可定在μ±3σ以内，即k′min=μ-3σ，k′max =μ+3σ，其可靠性概率为99.73%，则各种材料概率意义下实际线性缩率的计算公式为k′min= (k?max+7kmin)/8，k′max=(7kmax+kmin)/8，概率意义下的成形材料的实际综合线收缩率为μ′=(k′max + k′min)/2。表1列出了各种常见的成型合金材料概率意义下的实际线收缩率数据。

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表1 概率意义下合金的实际综合线收缩率

    2 成型尺寸的分析
    2.1 型腔空腔类尺寸
    根据入体原则，产品零件的外形实体尺寸应标注为Lz0-Δ，相应型腔空腔尺寸为Lc0+δ，当空腔被加工到最大允许尺寸，则有
     Lcmax=Lz (1+μ) -ηΔ+δ (1)
    其中，h 为修模系数，D 为产品零件尺寸公差，δ为模具制造精度公差。若此时的实际线收缩率为最小线收缩率，则产品零件实体尺寸为最大。
    Lzmax=Lcmax-Lcmax k′min (2)
    将(2)式代入(1)式，略去高阶小项，则有
    Lzmax=Lz(1+μ′-k′min) - h D +δ (3)
    此时应满足约束条件Lzmax≤Lz，则有
    h ≥Lz(μ′- k′max + δ)/D (4)
    当产品零件的尺寸及材料决定后，此式的右端可视为模具制造公差δ的函数，记为f(δ)。
    当空腔被加工到最小允许尺寸，而实际线收缩率为最大时，实体尺寸为最小。这时应满足Lzmin ≥Lz-Δ，则可经分析得
     h ≤Lz(μ′- k′max）/D+1 (5)
    将此式右端记为dmax，产品零件实体尺寸误差不能超过D，即Lzmax - Lzmax≤ D，则有
     δ≤D-Lz(k′max - k′min) (6)
    将此式右端记为δmax，对于δ的下限，按精密型腔模具加工所能达到的最高精度，可达到IT5，取δmin = 0.01mm。
    2.2 型腔型芯类尺寸
    根据入体原则，产品零件孔类尺寸标注为Lz0 + Δ，相应型芯类尺寸为L0c-δ，当型芯被加工到最大允许尺寸，实际线收缩率为最大时，孔类尺寸为最大，当型芯被加工到最小允许尺寸而实际收缩率为最小时，孔类尺寸为最小。根据这一原则，可以得到h和δ的上下限，其形式和(4)，(5)和(6)是相同的，不再列出。
    2.3 中心距离类尺寸
    此类尺寸不涉及修模量及磨损，仅与线收缩率有关，对产品零件它可以标注为Lz±D/2，相应的模具中心距尺寸可标注为Lc±δ/2，可以得到δ的上限δmax如(6)式所示，不再列出。
    3 型腔成型尺寸的多目标优化
    既要求模具制造精度公差δ尽量大，以降低模具制造成本及工艺难度，同时又要求修模系数h尽量小，这时对于线收缩率的选用误差有更强的容错能力，则优化模型为
    采用功效系数法来解此优化问题。功效系数d1，d2为1时最优，为0时最劣。将(7)式据此化为标准型。
    s.t. f(δ)-h≤0
    h-hmax≤0
    δmin-δ≤0
    δ-δmax≤0
    其中，hmin=f (δmin)，采用外点惩罚函数法来解此模型，这是因为目标函数构造为二次函数，外点法的惩罚项也为二次函数。则利用其二次收敛特性，不用进行迭代步长的一维搜索，用Newton法一步就可得到一极小化序列，当罚因子趋于无穷大时，序列收敛于问题的最优解h*和δ*，且收敛性是可保证的。至此，可得到优化意义下的成型尺寸。其型腔空腔类尺寸，型芯类尺寸和中心距离类尺寸的计算式分别为
    Lc0+δ*=［Lz(1+μ′)-h*D］0+ δ* (9)
    Lc-δ*0=［Lz(1-μ′)+h* Δ］-δ*0 (10)
    Lc±δ*/2=［Lz(1+μ′)］±δ*/2 (11)
    (11)式中的δ*取为δmax，参见(6)式。
    4 实 例
    表2同时列出了铝青铜合金产品零件采用优化方法和传统方法得到的成型尺寸数据。 * \( B5 E6 S9 K8 m

表2 优化方法和传统方法下的成型尺寸

(注：传统方法中，δ=(0.15～0.35)h；h=0.5～0.75)

     由表可知，优化方法得到的各个成型尺寸其加工精度要求均低于传统方法得到的成型尺寸(优化方法得到的公差数值更大)，而优化后的各个修模系数除第二个尺寸以外，均小于传统方法的修模量，从而在最大程度上兼顾了对线收缩率选用误差的容错能力。
    5 结 论
    文中综合分析了影响产品零件尺寸精度的各种因素之间的相互关系，建立的多目标优化模型兼顾了各重要影响因素的综合作用，提供了一个定量分析方法，比凭经验来进行选取更具合理性和经济性，有一定的理论和实用价值。 : r# ^# \( e% {. x% e