钻头磨尖问题几何模型研究

HEATS

0 引言

3 n0 {7 s$ A4 Q6 G" z1 @3 m3 f

钻头制造一般分两道工序，一是加工钻沟，二是磨尖。钻尖上除主切削刃与沟部工艺相关外，其它的刃口后角、横刃角和后刀面的降量均由磨尖工艺决定。由于横刃角为后刀面的交线，因而磨尖参数的理想值主要依赖于后刀面的造型。

1 斜等距曲面的概念及相关公式

# \8 q$ f5 R- J; T

图1

定义 已知直纹面S，在到直纹面S上与所有直母线均相交的定曲线距离为定值h的曲线上每一点p，取直纹面的水平线pp，使之等于定长r，r随h满足线性关系变化，则称p形成的曲面S为直纹面S的斜等距曲面。如图1。

相关公式的推导： , F t( G* h( X% v* y2 {

设直纹面S上定曲线的方程为 % y- N5 @, ~# K ^

则直纹面S可表示为

(1)

+ ^0 X% u& q* y( x6 H

据定义，法向距离r满足 / g2 Q: ?! Q4 A3 ]+ l. }/ U# K; T, q9 j. z& F, d3 Q

(2)

上式中t(u)为直母线方向单位向量，tga为线性关系的对应值。而曲面(1)上任一点法线方向单位向量为 ) q5 W& k" g, a* x. O& Z$ x; b! [( n' J# C* ~) M0 u) R/ Y1 R O- H$ T. X) {3 h( ^5 V: |$ O

(3)

- `# O, `3 M( m. j! _! P

于是斜等距曲面S的方程为 9 G7 O8 a" W! h% N+ R7 l+ n5 `9 D) G" v U k# W, m

(4)

显然，当直纹面(1)为可展曲面时，即为锥面、柱面、切线面时，斜等距曲面(4)为直纹面。

2 几何模型的建立

" L" }' G( Z- |# P$ @) n; c# Z2 J; A/ I$ v$ A# t

图2

- f. U8 @ M; o3 w% d2 X( {1 S, ?

为获得较为理想的后刀面，以钻头对称轴为z轴，以钻头横刃中点为原点，以中剖面为yoz平面建立右手直角坐标系，如图2，并假定钻头直径为2R₀，钻头中心厚为2k,刃倾角为 2f₀ ，横刃倾角为g₀ 6 q! W$ ~4 o: g7 ]

设钻头后刀面基线l₀的方程为 ! m D C/ Y: u

则显然有 8 Y2 a8 A q1 N; k! s% s) Y0 i即t₀为平面曲线。 % P, M( ]+ R) j0 R1 H

考虑到磨尖时的实际加工情况，我们在主刀刃，长线上取一点O′,使OO′=e，如图3。则O′的坐标为 - H3 @6 z( f4 h* j' g* k: K其中 $ D [2 j: V' f* V

则由O′与基线l₀所构成的锥面，为所要求的钻尖后刀面。 3 t( Q9 d: D* \3 k5 @

令 # |0 s u- o7 @/ B ( w. ?9 b$ e5 A+ @& g, y/ I' ~% I P& J1 T+ X3 |# d0 M5 u

图3

于是得到后刀面的向量方程为 . r3 b$ a! y- ?4 U, k

则其斜等距曲面的向量方程为 其中 ( }% g3 f: S) {+ ?

如果我们用锥面砂轮来磨制后刀面，砂轮轴线绕O′点回转，则砂轮轴线形成的直纹面应力后刀面t₁(t,h)的斜等距曲面t₂(t,h)，由斜等距曲面的性质可知，t₂(t,h)恰好为直纹面，因此当砂轮轴线在直纹面t₂(t,h)上运动时，就可以得到理想的后刀面t₁(t,h) 。

3 模型中基线l₀的确定

我们用三次多项式曲线来描述钻尖后刀面基线l₀，在向量方程t₀(t)中令 + C, A5 N* F: M5 ], B. x* x* g" X- S |8 g

(5)

0 v7 F: j5 R8 A* G8 x( |) j$ U @% z

设钻头后刀面某一点处的后角为a，即l₀上某一点的切线与经过该点圆的切线的夹角为a，如图3。

由于OC⊥A₀C ，所以有

即 ; Z, h' R. i7 g: Y/ [! ?5 R; G: z$ h. Z4 q Y: x: a$ c G+ \ y0 P7 {$ L

(6)

?* I1 G+ H! i/ z1 [

而 . N7 w/ W1 Y$ y0 B' G* F4 D7 A5 W4 M% p4 r/ P2 ^3 b, b+ T2 y& C

(7)

令 & B& F. O$ n% V3 J. ~( r

t=0 时，对应曲线l₀ 上A0 点a=a₀, q=q₀

t=½时，对应曲线l₀上的点a=a₁，q=q₀+(180°-q₀)/2

t=1时，对应曲线 l₀上B点 a=a₂, q=q₂=180° 4 e2 b! r( X& ]2 x: T: y

若令后刀面的降量｜DB｜=R-R₂ ，则R₂为｜OB｜的长，将上述各值代入方程(6)、(7)式可求解方程中的未知系数。

4 计算实例

, o6 e" R1 t5 o' d. s$ Q

我们用半顶角为15°，小端直径为20mm的锥面砂轮来磨制直径为20mm、钻头中心厚3mm、刃倾角2f=118°、横刃倾角为 45°的钻尖，要求后刀面初始角为8°，逐渐增大到30°时，算得砂轮轴运动曲面和实得后刀面见下表1。 5 O, f0 u4 D: h0 X5 ^/ U, x- w2 m) q L! j; c. I( Q( i6 C& Q, [% Z' d8 d) w3 S5 p1 _4 K& M. C8 b0 `: \- z; {) E1 ^0 M% k3 _5 p- o* _3 X! @$ Z! w5 K. z: _+ ?1 s' p! V7 H. f V5 R( S3 V" B7 k; e1 M. t; c6 [; S! \" Z* {5 N3 h% X5 W! b. \" l. [: K+ B, y! g) R, k$ O/ q$ c4 K" t- ^0 B7 B6 U$ d' y3 v% E" q, |+ z# K$ z; C% L1 G0 f3 C4 b0 s, @7 h1 y! |: G k" `; |4 V/ r/ Q- V5 ]1 {* d8 [7 |4 x, c5 C- T$ y, j0 q$ N' {" D: T$ D8 J1 J6 N, o# v# i6 q- R @. v) V: l' p5 \" ^& K o* `" G: o& i) \+ D. h0 b; ^4 L7 {2 P V7 \5 v, d: |8 h7 b9 l5 d6 x! U+ [% q+ a3 d7 m" `4 _- Q$ J" N/ b4 ^) @8 t+ e% D z" f+ Q. S) @/ M" c5 d2 t/ n/ w V* h/ }' K+ t* ` G$ o! f4 h" c! _. Z, c' x( c: w8 J! g: w9 {4 w4 l7 c2 G7 }. n# Y- y% `# N2 T3 [9 E. E$ S+ U+ [6 j5 }8 y0 M( X o( y8 Z$ k' o* G( C* D% c& k& H9 B8 f. O$ @8 u. M, ^# o0 G! _: C2 s- c9 b2 A, ]. ]+ g: {- s( I5 @' n! K2 v4 q" R; H0 t. }" @3 L/ L# Q( u& _: |" z/ D0 x$ T: o3 x5 [$ R8 w% B) ^7 ?5 I- A* |) C7 e+ _3 b$ J0 |+ f: x# u$ z( ~9 I# o) t6 x5 m9 @ G4 s$ w) c5 B8 y) O" c3 i6 ^" X- V9 e7 e6 s% t4 Q+ N; c8 |# U7 K% f% f3 Y. G m2 N, E5 k- ^5 ]+ e% _8 D) |- e4 v1 I/ k/ i+ n1 W% P/ b3 G" l: j9 {! c0 }" q8 d5 V% s9 A% Y. p( A) d& m* ]( V7 h/ S5 v( }+ i' ~( G4 P) P: n3 e; S9 E1 ?& J' S& z/ z0 k0 a& m& o( [9 b+ t6 a# |0 n ^, z3 J: `$ X8 z8 W: e8 ]2 d/ c- R$ \. K" ^* _5 `6 @7 ~ F& i$ V9 o+ r v- k& Q+ A, [. Y% H) m5 \ w- }( l9 e. d$ v; N- x6 N+ ]5 v) [/ d& I% O6 T7 t+ e, [1 t$ R$ P. f! ^9 h! d( q9 P+ Y4 r! O" a; `" {" C8 z$ ]! D# |- _. N3 V0 |% E, _" g( [6 \% D3 i* m: q9 z$ P% U7 K% q3 v, Z

表 1 钻尖后刀面 Dh=0.4砂轮轴运动曲面

t	X	y	z	X	y	z
0.100000	0.534756	9.809271	3.924000	0.763944	14.837284	-4.716981
	0.603335	9.457872	3.727166	0.942209	14.603413	-4.806366
	0.671914	9.126473	3.530332	0.120622	14.369562	-4.895735
0.200000	-1.580552	9.754528	3.924000	-2.108333	14.610213	-4.802040
	-10457113	9.425280	3.733321	-1.875337	14.388882	-4.885273
	-10333674	9.096032	3.52642	-1.642207	14.167592	-4.968489
0.300000	-3.338388	9.394637	3.924000	-4.779435	13.885962	-4.893674
	-3.171519	9.083460	3.73720	-4.503827	13.680721	-4.972644
	-3.004649	8.770284	3.551440	-4.228131	13.477522	-5.051607
0.400000	-4.731216	8.749464	3.924000	-7.235865	23.621814	-4.949085
	-4.529724	8.457240	3.739593	-6.926962	12.436927	-5.026309
	-4.32832	8.165016	3.55186	-6.926962	12.436927	-5.026309
0.500000	-5.751500	7.838875	3.924000	-9.421327	10.782169	-4.900363
	-5.522062	7.568788	3.738497	-9.086045	10.618028	-4.978542
	-5.292624	7.298700	30552995	-8.750838	-10.453816	-5.056713

- }. V4 S( [ t1 w6 I2 g

5 结论

本文详细地介绍了钻头磨尖的几何模型的建立过程，和以往的磨制方法不同的是，我们先建立理想的后刀面，然后再寻求砂轮的运动。计算结果表明，本模型实用、可靠，此项研究曾结合工厂(因大批退货)实践而进行，取得了很好的效益。

. N7 u; {6 A* G$ ?* A8 u