钻头磨尖问题几何模型研究

HEATS

0 引言

钻头制造一般分两道工序，一是加工钻沟，二是磨尖。钻尖上除主切削刃与沟部工艺相关外，其它的刃口后角、横刃角和后刀面的降量均由磨尖工艺决定。由于横刃角为后刀面的交线，因而磨尖参数的理想值主要依赖于后刀面的造型。 ! e4 s0 k" I( F

1 斜等距曲面的概念及相关公式

; k+ o" w+ p Y; N; Z0 S% X; L! d* r" z

图1

0 Y: l1 s& t# a* g

定义 已知直纹面S，在到直纹面S上与所有直母线均相交的定曲线距离为定值h的曲线上每一点p，取直纹面的水平线pp，使之等于定长r，r随h满足线性关系变化，则称p形成的曲面S为直纹面S的斜等距曲面。如图1。

相关公式的推导：

设直纹面S上定曲线的方程为 0 e7 b0 F( J" Y, O ) d, y( x% l4 a# {" Y5 D' {

则直纹面S可表示为 8 p# a+ l) A; {# u4 V" y9 o6 @, }+ F* a9 m H! W( ?/ g- h

(1)

7 S* t5 \/ ?+ k. S2 C# U* Q- e0 [/ c

据定义，法向距离r满足 ' B- i% i$ Y& E, a L% E) g, |7 Y' O( D( F( y, H' q( ?' a B2 f! }4 X$ [, o( ?

(2)

上式中t(u)为直母线方向单位向量，tga为线性关系的对应值。而曲面(1)上任一点法线方向单位向量为 % `; v# n: G- F' d+ [) d- D* F: w3 Q; \5 k

(3)

9 r$ W4 B) h: O0 }: H/ e

于是斜等距曲面S的方程为 9 h- S% |( [( r

(4)

- ~6 r; f9 k0 n/ o& Y

显然，当直纹面(1)为可展曲面时，即为锥面、柱面、切线面时，斜等距曲面(4)为直纹面。

2 几何模型的建立

) m: \ J: ]/ b4 P$ Z S. d! k1 e( s* e$ M& {+ Y3 C

图2

为获得较为理想的后刀面，以钻头对称轴为z轴，以钻头横刃中点为原点，以中剖面为yoz平面建立右手直角坐标系，如图2，并假定钻头直径为2R₀，钻头中心厚为2k,刃倾角为 2f₀ ，横刃倾角为g₀

设钻头后刀面基线l₀的方程为 ! ]6 R' j: F7 V. E( A

则显然有 即t₀为平面曲线。

考虑到磨尖时的实际加工情况，我们在主刀刃，长线上取一点O′,使OO′=e，如图3。则O′的坐标为 其中

则由O′与基线l₀所构成的锥面，为所要求的钻尖后刀面。 6 {9 P( T8 k1 m4 | _2 `3 i

令 7 U; ^' f0 l g* K& S: f; W0 \5 Y& W- Y" t+ s9 V

图3

于是得到后刀面的向量方程为 3 ?5 _% j1 }3 {5 h' h4 p ' V* u0 S5 i) g' Y

则其斜等距曲面的向量方程为 其中 * D6 N9 `" _7 z3 s( d

如果我们用锥面砂轮来磨制后刀面，砂轮轴线绕O′点回转，则砂轮轴线形成的直纹面应力后刀面t₁(t,h)的斜等距曲面t₂(t,h)，由斜等距曲面的性质可知，t₂(t,h)恰好为直纹面，因此当砂轮轴线在直纹面t₂(t,h)上运动时，就可以得到理想的后刀面t₁(t,h) 。 / { Z( x4 t, y/ b2 W, [

3 模型中基线l₀的确定

. `' }; ^) n6 b2 f$ c

我们用三次多项式曲线来描述钻尖后刀面基线l₀，在向量方程t₀(t)中令 * F( V( P- v( S. H: M# n' y. k6 B3 o; V* m! } u! O

(5)

设钻头后刀面某一点处的后角为a，即l₀上某一点的切线与经过该点圆的切线的夹角为a，如图3。

由于OC⊥A₀C ，所以有

即 . F6 x% C' ]0 r) n3 W9 l1 s" h; ?3 B* l1 G$ w

(6)

而 # v3 p6 ?+ D5 U3 P9 P4 W9 [" ]) l* p) R0 Y0 T. e7 _) I* q

(7)

令 {; f- P; T$ Z* W4 g

t=0 时，对应曲线l₀ 上A0 点a=a₀, q=q₀

t=½时，对应曲线l₀上的点a=a₁，q=q₀+(180°-q₀)/2

t=1时，对应曲线 l₀上B点 a=a₂, q=q₂=180°

若令后刀面的降量｜DB｜=R-R₂ ，则R₂为｜OB｜的长，将上述各值代入方程(6)、(7)式可求解方程中的未知系数。

4 计算实例

我们用半顶角为15°，小端直径为20mm的锥面砂轮来磨制直径为20mm、钻头中心厚3mm、刃倾角2f=118°、横刃倾角为 45°的钻尖，要求后刀面初始角为8°，逐渐增大到30°时，算得砂轮轴运动曲面和实得后刀面见下表1。 ( ?. b$ y9 `2 p n2 b8 C! N7 Z) n% i% U( p$ {8 B/ r- ~ a4 Y4 n# z5 I6 |+ z! ~7 A3 n) Y* }! i- [9 ~0 M$ {4 Y. X% k' y3 y& C( v0 H# T9 K& @- c! {6 c7 @- p" r& r" `% o8 S. a) A& z$ ?& @+ T: c7 K+ V9 m- W3 W5 x8 P; e! B; H2 c1 l3 ^/ O/ E6 D/ q0 }$ q$ V z. H8 Y4 }. l u3 x8 S8 c0 u# n) U5 f) D) D" Y8 y7 Q- ^& a( \/ T% u- y5 X. h$ R( t5 J* i9 e% [" i& s9 @. a _$ B+ j' x& _+ j0 h: T& f9 G) J- m2 E5 m( V0 f/ @% g8 q, \- S" A) T1 i O8 e9 R: q8 E/ f! H+ `/ n* f7 X9 c' v' ~# l' k* Z S# s# B9 E; A0 s& `- r+ C3 @. b1 {# [1 { L& r; D7 Z. a( ?% b! h9 [+ s' H$ x( M& Y9 H) d$ R6 i2 R* Z7 f0 }% s, e: Z b4 |; L! O4 X% U, |* O. p, }6 x8 a8 _4 L; }8 g$ `3 g" L) S5 A7 S {9 `$ h, A6 x! t, f+ x3 \7 b5 C0 G% y& r8 c- @; {7 I3 x. c" c$ i& ]1 e$ G8 ]( n1 }) }5 j7 H" u* D3 s8 n& }$ E6 {8 S1 ^+ Q& T c j5 l L1 x- `! e2 N1 @* p3 p/ @+ |% f' A0 Y9 s6 |) o4 X' D; O* w9 _2 M" u* O" [ A+ m9 J: n) D4 C) C6 c; ~ G$ W! e" m6 c+ X* {0 ]- P) c5 m- S. n4 [3 {% }" m; [9 u' ^' ?+ n( f5 K/ b9 h2 ]% ^, J$ b/ U, b2 C- K: q/ w$ @6 X$ S9 \- Q4 P% V/ F2 M% ^8 |: ~/ j d: _' K, o) ?% |2 e8 X4 m( y& L' ]& h8 i: U" k7 E& t0 G! X* S( q- i2 a2 Q% J+ H( q; A" v; o9 z: ?# }4 i0 o5 U9 ^) C) Q; L! P1 a# M& ]$ S% B6 A" X' K0 z% S4 @ C$ f {+ I/ h" f$ Z2 _7 y% M' K+ A) M/ R' L, v6 }/ U" @9 A' N7 s( Q3 Y2 T: v; i: N U$ [6 L& f% f* O9 k# }" O/ o( p5 b( N( Z/ N5 L7 c' u" ?; C5 Y: m1 q3 {+ f" l! I2 ]) `" Y! p1 T) x+ q

表 1 钻尖后刀面 Dh=0.4砂轮轴运动曲面

t	X	y	z	X	y	z
0.100000	0.534756	9.809271	3.924000	0.763944	14.837284	-4.716981
	0.603335	9.457872	3.727166	0.942209	14.603413	-4.806366
	0.671914	9.126473	3.530332	0.120622	14.369562	-4.895735
0.200000	-1.580552	9.754528	3.924000	-2.108333	14.610213	-4.802040
	-10457113	9.425280	3.733321	-1.875337	14.388882	-4.885273
	-10333674	9.096032	3.52642	-1.642207	14.167592	-4.968489
0.300000	-3.338388	9.394637	3.924000	-4.779435	13.885962	-4.893674
	-3.171519	9.083460	3.73720	-4.503827	13.680721	-4.972644
	-3.004649	8.770284	3.551440	-4.228131	13.477522	-5.051607
0.400000	-4.731216	8.749464	3.924000	-7.235865	23.621814	-4.949085
	-4.529724	8.457240	3.739593	-6.926962	12.436927	-5.026309
	-4.32832	8.165016	3.55186	-6.926962	12.436927	-5.026309
0.500000	-5.751500	7.838875	3.924000	-9.421327	10.782169	-4.900363
	-5.522062	7.568788	3.738497	-9.086045	10.618028	-4.978542
	-5.292624	7.298700	30552995	-8.750838	-10.453816	-5.056713

6 E- S5 E$ x5 [" |

5 结论

6 _$ Y$ A2 N$ T/ Q' V

本文详细地介绍了钻头磨尖的几何模型的建立过程，和以往的磨制方法不同的是，我们先建立理想的后刀面，然后再寻求砂轮的运动。计算结果表明，本模型实用、可靠，此项研究曾结合工厂(因大批退货)实践而进行，取得了很好的效益。

* w/ d6 s9 N1 V2 k/ f J, w