轴测投影基本定理的计算理论和方法

HEATS

前言

　　波克-许华尔兹定理是轴测投影的基本定理，无论对轴测投影理论，还是对轴测投影理论的应用，该定理都有重要的意义。
　　波克-许华尔兹定理为(简称，波-许定理①)：
　　任何一个非蜕化的完全四点形，都可以看作是一个形状已定的四面体的轴测投影。
　　所谓完全四点形是指由四个一般位置的点(顶点)及六条顶点连线所构成的图形。四个顶点都不在同一直线上的四点形称为非蜕化四点形。
　　叶玉驹等著的《高等画法几何学》中将波克-许华尔兹定理叙述为(简称波-许定理②)：
　　任何一个四面体都可以轴测投影为一个形状已定的非蜕化四点形。
　　上述两种说法的区别是，前一种是将四面体作相似变换，而后一种是将非蜕化四点形作相似变换，文献［1］事实上证明的是后者，再根据相似变换原理推论出前者。
　　从定性角度看，上述两种说法并没有本质的区别，但从定量角度看，上述两种说法并不一致。事实上，波克-许华尔兹定理只涉及到定性的一面，没有涉及定量这一方面。研究轴测投影基本定理定量问题即其计算理论是本文研究的问题。
　　轴测投影基本定理的计算理论将为计算机理解轴测投影图提供最基本的理论依据。在机器人视觉、几何造型、计算机动画制作等方面有重要的应用价值。

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1　本文研究的问题

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　　本文研究的主要问题有两个，一个为波-许定理①的计算理论，另一个为波-许定理②的计算理论。

几何模型图

　　波-许定理①的计算问题为：将四面体ABCD(上图)作空间刚体运动变换和相似变换，使其到达位置A′B′C′D′，并使四面体A′B′C′D′在某投影方向下的轴测投影为完全四点形abcd。具体计算问题为：已知四面体ABCD和完全四点形abcd，求刚体运动参数和相似变换系数。
　　波-许定理②的计算问题为：将完全四点形abcd作空间刚体运动变换和相似变换，使其达到位置a′b′c′d′，并使四面体ABCD在某投影方向下的轴测投影为完全四点形a′b′c′d′。具体计算问题为：已知四面体ABCD和完全四点形abcd，求刚体运动参数和相似变换系数。
　　空间刚体运动一般可分解为旋转运动和平移运动。对轴测投影来说，刚体平移运动参数并不能完全确定，附加其它约束后，平移运动参数比较容易获得，为此本文重点研究刚体旋转运动参数的计算问题。设刚体旋转运动的变换矩阵为：

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　　若求出矩阵R，则可方便地求得各分解方式下的刚体旋转运动参数。
　　基于上述考虑，不妨设
　　A(0，0，0)，B(X₁，0，0)，C(X₂，Y₂，0)，D(X₃，Y₃，Z₃)
　　a(0,0,0),b(x₁,0,0),c(x₂,y₂,0),d(x₃,y₃,0)
　　且相似变换系数为K。

2　波-许定理计算理论和方法

2.1　波-许定理①
　　在这种情况下，完全四点形abcd不动，因此投影方向不能平行于abcd所在的平面，即平面Z=0，故可设投影方向为V(l,m,1)。
　　四面体ABCD在空间旋转运动R和相似变换作用下到达位置A′B′C′D′。此时点B′，C′，D′应分别位于过点b,c,d且平行于投影方向V的直线上，据此可得：
　　KX₁r₁₁-x₁=KX₁lr₃₁
　　r₂₁=mr₃₁
　　K(X₂r₁₁+Y₂r₁₂)-x₂=Kl(X₂r₃₁+Y₂r₃₂)
　　K(X₂r₂₁+Y₂r₂₂)-y₂=Km(X₂r₃₁+Y₂r₃₂)
　　K(X₃r₁₁+Y₃r₁₂+Z₃r₁₃)-x₃=Kl(X₃r₃₁+Y₃r₃₂+Z₃r₃₃)
　　K(X₃r₂₁+Y₃r₂₂+Z₃r₁₃)-y₃=Km(X₃r₃₁+Y₃r₃₂+Z₃r₃₃)
　　整理上述式子可得：

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K(r₁₁-lr₃₁)=a₁　　(3-1)
r₂₁-mr₃₁=0　　(3-2)
K(r₁₂-lr₃₂)=a₂(3-3)
K(r₂₂-mr₃₂)=a₃(3-4)
K(r₁₃-lr₃₃)=a₄(3-5)
K(r₂₃-mr₃₃)=a₅(3-6)

5 d: J# {8 B. w0 Z. b

其中

利用式(3-1)(3-3)(3-5)可得：

K(1+l²)=a₁²+a₂²+a₄²(3-8)

利用式(3-2)(3-4)(3-6)可得：

K²(1+m²)=a₃²+a₅²(3-9)

, K2 r& Q. h( J

利用式(3-1～6)可得：

1 f ?0 e1 A, V. x' ^

K²lm=a₂a₃+a₄a₅(3-10)

1 x- f& m$ ]! P$ w K' [

从式(3-8～10)可求得：

　　(3-11)

其中

3 L% I/ |$ l" t B8 J( l6 `7 F

b₁=a₂a₃+a₄a₅
b₂=a₁²+a₂²+a₄²
b₃=a₃²+a₅² 　　(3-12)

* e9 v* L' _3 ^, i( Q

从而可求得：

　　(3-13)

　　求得相似变换系数K和投影方向V(l,m,1)后，利用式(3-1)(3-2)及r₁₁²+r₂₁²+r₃₁²=1即可求得旋转矩阵R中的元素(r₁₁,r₂₁,r₃₁),再利用(3-3～6)及

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即可求出旋转矩阵R中的其它元素，从而可求出四面体A′B′C′D′的位置。
　　从上可以看出，相似变换系数K有两解，其绝对值相等，符号相反。投影方向V(l,m,1)也有两解，这两解关于投影平面(即abcd所在的平面)对称，从而可以看出旋转矩阵R将有八解。即四面体A′B′C′D′的位置将有八个位置。
　　基于上述分析和求解，从定性和定量两方面考虑，波-许定理①应补充为：
　　任何一个非蜕化的完全四点形，都可以看作是一个形状已定的四面体的投影。相似变换系数有两解，其绝对值相等符号相反；投影方向也有两解，这两解对称于投影平面；变换后的四面体有八个位置。
2.2　波许定理②
　　设投影方向为V(l,m,n,)。
　　在这种情况下，完全四点形a′b′c′d′的六条也是四面体ABCD各棱边的轴测投影。因此，应用两个字母来表示两条对角边的交点(如对角边a′d′和b′c′的交点为e′(f′)，e′的对应点E属于棱边AD，f′的对应点F属于BC，由于三点的简比在轴测投影及空间刚体运动和相似变换下是不变的，故可以根据下列条件求得从e(f)求得四面体ABCD上棱边AD和BC上相对应的点E和F。

(aed)=a′e′d′)=(AED)
(bfc)=(b′f′c′)=(BFC)

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设E(X₄,Y₄,Z₄),F(X₅,Y₅,Z₅),则投影方向V：

　　(4-1)

　　依据点b′,c′,d′,应分别位于过点B，C，D，且平行于投影方向V的直线上，可得

2 q2 X2 U! u f n

Klx₁r₃₁-Knx₁r₁₁+nX₁=0
Kmx₁r₃₁-Knx₁r₂₁=0
Klx₂y₃₁+Knx₂r₁₁-Kny₂r₁₂+nX₂=0
Kmx₂r₃₁+Kly₂r₃₂-Knx₂r₂₁-Kny₂r₂₂+nY₂=0
Klx₃r₃₁+Kly₃r₃₂-Knx₃r₁₁-Kny₃r₁₂+nX₃-lZ₃=0
Kmx₃r₃₁+Kmy₃r₃₂-Knx₃r₂₁-Kny₃r₂₂+nY₃-mZ₃=0

" T, v+ P) N, j# s5 w+ I

经整理可得：

　　(4-2)

其中

M1 j2 ~& H- u8 b5 `+ r

a₁=lx₁　　　　a₂=mx₁　　　　a₃=lx₂　　　　a₄=mx₂　　　　a₅=lx₃
a₆=mx₃　　　　a₇=ly₂　　　　a₈=my₂　　　　a₉=ly₃　　　　a₁₀=my₃
b₁=nx₁　　　　b₂=nx₂　　　　b₃=nx₃　　　　b₄=ny₂　　　　b₅=ny₃
c₁=nX₁　　　　c₂=nX₂　　　　c₃=nY₂　　　　c₄=nX₃-lZ₃　　　　c₅=nY₃-mZ₃
　　在式(4-2)中，若将kr₁₁,kr₁₂,kr₂₁,kr₂₂,kr₃₁,kr₃₂看作未知数，则利用式(4-2)可唯一确定上述未知数值。利用旋转矩阵R的正交性质，则可得

(4-3)

从而可求得旋转矩阵R中的元素(r₁₁,r₂₁,r₃₁,r₁₂,r₂₂,r₃₂)。再利用

　　(4-4) ! n! a. q2 m! y8 X' P/ N; I

可求得旋转矩阵R中的其它三个元素。
　　从上可以看出，投影方向V(l,m,n)仅有一解，而相似变换系数K有两解，其绝对值相等符号相反，从而旋转矩阵R也有两解，即完全四点形a′b′c′d′有两个位置。
　　基于上述分析和求解，从定性和定量两方面考虑，波-许定理②应补充为：任何一个四面体都有可以轴测投影为一个形状已定的非蜕化四点形。投影方向仅有一解，相似变换系数有两解，其绝对值相等符号相反；变换后的完全四点形有两个位置。

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3　结束语

0 _# l' T* n/ c M& z! p' M1 \5 s

　　本文研究了轴测投影基本定理的计算问题，给出了波-许定理①和定理②的计算理论和计算公式，据此建立了含有定量关系的轴测投影基本定理。指出从定性的角度看，波-许定理①定理②并无本质的区别，但从定量的角度看，这两个定理存在着明显的差别，即波-许定理①有八个解而波-许定理②仅有两个解。
　　本文的研究是对轴测投影理论的补充，同时也有一定的应用价值。如应用于从轴测图构造物体的三维信息将会为物体的几何造型计算机动画的制作提供理论依据和方法。

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