直关系--直线与平面以及两平面的相对位置

lijihua2000008

1.直线与平面垂直
　　几何条件：如果一直线垂直于平面上的两条相交直线，则此直线垂直于该平面。
　　反之，如果一直线垂直于一平面，则此直线垂直于该平面上的一切直线。
5 N. O8 F& ^/ @! e( J　　投影：若一直线的水平投影垂直于平面上水平线的水平投影，直线的正面投影垂直于平面上正平线的正面投影，则该直线必垂直于此平面。反之，若一直线垂直于一个平面，则它的水平投影一定垂直于平面是水平线的水平投影，它的正面投影一定垂直于平面上正平线的正面投影，它的侧面投影一定垂直于平面上侧平线的侧面投影。

　　如图4-18所示，AB和AC分别是△ABC平面上的水平线和正平线，ad⊥ab,
　　aˊdˊ⊥aˊcˊ,则直线AD垂直于平面△ABC。
　　例1 试求点K到△ABC△ABC平面的距离（图4-19a）
$ L7 o  r# V" v" z4 {! Y　　解
　　分析 求点到平面的距离，需自该点向平面做垂线，并求出垂线与平面的交点，然后确定该点到垂足之间线段的实长。（图4-19b,4-19c）
　　作图步骤
0 H+ s4 ~: c7 ?/ U* X  j6 x　　（1）在△ABC平面上任作一水平线BD和正平线AE。
　　（2）自K点向BD、AE引垂线，即作kl⊥bd, kˊlˊ⊥aˊeˊ,得垂线KL。
1 i# X7 f: H, K  L, V; p　　（3）过KL作辅助面P,求出垂线与平面的交点即垂足F。
　　（4）用直角三角形法求出实长K1f,则K1f即为所求。

图4-19
. R6 w4 O4 L. y( Q  J) ~. L; s: l　　例2：求A点到平面P的距离（图4-20a）
& K( U3 Z" k5 h% s8 q, I　　作图步骤：
+ j/ u! K# R4 g+ I9 v" q/ e  R　　（1） 作AK┴P
8 a. A2 i) ]9 d6 P. u7 o$ K* D- g　　（2） 过AK作正垂辅助面Q
8 v$ s$ x5 v& c1 I$ ^$ G  V9 \　　（3） 求平面P、Q的交线MN
　　（4） 求MN与AK的交点K
　　（5） 求AK实长KA1

图 4-20
, G: x/ |/ M) ^　　例3 已知一个过点A的法线平面（N为法线），试将该平面转换成由两条相交直线表示的平面（4-21a）
1 J1 o0 l1 u8 w! t4 m　　解
* C) |9 O6 p: X8 n4 i1 [! G　　作图步骤（图4-21b）
: O6 {$ i+ R' S+ u　　（1）过点A作水平线AK,使ak⊥n;
　　（2）过点K作正平线KL,使kˊlˊ⊥nˊ;
) H$ {9 z8 b0 c- Z' t　　（3）两相交直线KA、KL即为所求。

' q* \; h' ~7 V. u) N图4-21
　　2 平面与平面垂直
　　几何条件：如果一直线垂直于一平面，则通过此直线的所有平面都垂直于该平面。反之，如果两平面互相垂直，则自第一个平面上的任意一点向第二个平面所作的垂线，一定在第一个平面上。（图4-22）

图4-22                  图4-23
) h+ s! h# T, K9 l( ^* Y　　例 1 试过直线EF作一平面垂直于平面ABCD(图4-23)
# c: o6 c& u: N' r　　解
/ x+ X2 ]/ }- ?% i3 w　　作图步骤 （1）从直线EF上的任意一点E向平面ABCD引垂线EH;
; e: K! W- d7 Y　　（2）则平面FEH垂直于平面ABCD,即为所求。
　　例 2 试判断两平面△ABC、△DEL是否相互垂直（图4-24）
　　解
　　分析 根据两平面相互垂直的条件检查
6 K8 N( K# K# {　　作图步骤
　　（1）自△DEL上任意一点，如点E作直线EF垂直于△ABC；
　　（2）在EF上除点E外，任取一点F,检查F点是否在平面△DEL上。由图4-24可以看出，点F不在平面△DEL上，所以两平面不垂直。

8 y3 x/ I& Y- B图4-24
3.　两一般位置直线垂直
0 t  U: i) r( M, M3 O4 ]& O4 B; J　　作图依据：一直线垂直于一平面，则这条直线垂直于一平面，则这条直线垂直该平面上的所有直线。
7 v7 f$ o/ \6 x  t  h+ P* B% Z　　例 试过A点作一条直线，使其与直线BC垂直相交（图4-25a）
　　解
! k) c# G. N/ j( _/ {# m0 R　　分析 由于BC为一般位置直线，过点A与BC垂直相交的直线也是一般位置直线。所求直线必在过点A且与直线BC垂直的平面内，该平面与直线BC的交点和点A的连线，即为所求（图4-25b）
( x' U7 C% F! {& H+ ]% x　　作图步骤 （图4-25c）:
　　（1） 过点A作水平线AD⊥BC,作正平线AE⊥BC;
　　（2） 求直线BC与平面（AD、AE确定）的交点K(k,kˊ);
　　（3） 连接A、K,则AK(ak,aˊkˊ),即为所求。
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2 s) d- ~- y* \* z" k/ p: k8 V9 q% e图4-25 两一般位置直线互相垂直【MechNet】
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