直关系--直线与平面以及两平面的相对位置

lijihua2000008

1.直线与平面垂直
  @1 p& e, l2 D* {& Y　　几何条件：如果一直线垂直于平面上的两条相交直线，则此直线垂直于该平面。
　　反之，如果一直线垂直于一平面，则此直线垂直于该平面上的一切直线。
　　投影：若一直线的水平投影垂直于平面上水平线的水平投影，直线的正面投影垂直于平面上正平线的正面投影，则该直线必垂直于此平面。反之，若一直线垂直于一个平面，则它的水平投影一定垂直于平面是水平线的水平投影，它的正面投影一定垂直于平面上正平线的正面投影，它的侧面投影一定垂直于平面上侧平线的侧面投影。

　　如图4-18所示，AB和AC分别是△ABC平面上的水平线和正平线，ad⊥ab,
　　aˊdˊ⊥aˊcˊ,则直线AD垂直于平面△ABC。
　　例1 试求点K到△ABC△ABC平面的距离（图4-19a）
$ i8 I0 W. m/ }' H　　解
" M$ P* w& N! s+ B　　分析 求点到平面的距离，需自该点向平面做垂线，并求出垂线与平面的交点，然后确定该点到垂足之间线段的实长。（图4-19b,4-19c）
- O' I: L* N4 {# P: f8 |% C　　作图步骤
8 Y# \! T4 g0 t. s# g　　（1）在△ABC平面上任作一水平线BD和正平线AE。
# [) Z, b' l( F" s　　（2）自K点向BD、AE引垂线，即作kl⊥bd, kˊlˊ⊥aˊeˊ,得垂线KL。
6 G+ u( n: B% E　　（3）过KL作辅助面P,求出垂线与平面的交点即垂足F。
3 D5 _! ^( G0 i* t6 r　　（4）用直角三角形法求出实长K1f,则K1f即为所求。

图4-19
　　例2：求A点到平面P的距离（图4-20a）
　　作图步骤：
6 y* W! P0 Q/ M* W; h　　（1） 作AK┴P
　　（2） 过AK作正垂辅助面Q
3 ~9 R: D6 U& z　　（3） 求平面P、Q的交线MN
　　（4） 求MN与AK的交点K
　　（5） 求AK实长KA1
' L; Y1 O. p  P- z& g
图 4-20
　　例3 已知一个过点A的法线平面（N为法线），试将该平面转换成由两条相交直线表示的平面（4-21a）
　　解
7 d7 P+ v% s6 e. R3 c　　作图步骤（图4-21b）
2 M2 b7 F) p/ F+ m4 S- ?6 d　　（1）过点A作水平线AK,使ak⊥n;
* e$ k' f2 M  I0 s$ X2 }; J　　（2）过点K作正平线KL,使kˊlˊ⊥nˊ;
　　（3）两相交直线KA、KL即为所求。
9 Q: n: M( V6 z3 a6 {6 }  ?- j
' D2 ?6 R  B- Y4 {图4-21
　　2 平面与平面垂直
　　几何条件：如果一直线垂直于一平面，则通过此直线的所有平面都垂直于该平面。反之，如果两平面互相垂直，则自第一个平面上的任意一点向第二个平面所作的垂线，一定在第一个平面上。（图4-22）

: ]2 O1 W4 I. c9 t! r. q图4-22                  图4-23
0 B2 L  g( N# m4 J% C% I6 ^　　例 1 试过直线EF作一平面垂直于平面ABCD(图4-23)
7 u& W& v3 Q9 q6 t) W! i　　解
4 ?  i  O0 h" B0 M2 ?5 n% Y$ p　　作图步骤 （1）从直线EF上的任意一点E向平面ABCD引垂线EH;
3 C* k7 @: B7 Q& \2 i　　（2）则平面FEH垂直于平面ABCD,即为所求。
& Q  L% j& X  h2 o5 d　　例 2 试判断两平面△ABC、△DEL是否相互垂直（图4-24）
. e6 f9 v( f% u, q; z9 h% \6 Z% ~　　解
　　分析 根据两平面相互垂直的条件检查
) _; ?/ U: C; R' s( C　　作图步骤
3 L2 H( Q7 J5 N/ |1 z( ]* K  k7 a　　（1）自△DEL上任意一点，如点E作直线EF垂直于△ABC；
* I: f) J7 F% X5 m2 z2 B　　（2）在EF上除点E外，任取一点F,检查F点是否在平面△DEL上。由图4-24可以看出，点F不在平面△DEL上，所以两平面不垂直。
4 {( M0 }' t8 L. [
9 }1 P; u& s# S# K图4-24
3.　两一般位置直线垂直
　　作图依据：一直线垂直于一平面，则这条直线垂直于一平面，则这条直线垂直该平面上的所有直线。
  B" ?3 e, l: Y  q* e　　例 试过A点作一条直线，使其与直线BC垂直相交（图4-25a）
　　解
　　分析 由于BC为一般位置直线，过点A与BC垂直相交的直线也是一般位置直线。所求直线必在过点A且与直线BC垂直的平面内，该平面与直线BC的交点和点A的连线，即为所求（图4-25b）
; m$ m1 W& i$ V! n5 P" c　　作图步骤 （图4-25c）:
　　（1） 过点A作水平线AD⊥BC,作正平线AE⊥BC;
　　（2） 求直线BC与平面（AD、AE确定）的交点K(k,kˊ);
# n3 H) T. I. X' Q8 w7 o, w5 ~　　（3） 连接A、K,则AK(ak,aˊkˊ),即为所求。

图4-25 两一般位置直线互相垂直【MechNet】
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