点、线、面综合题及其解法--直线与平面以及两平面的相对位置

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点、线、面综合题是指在解题过程中需要运用前面点、线、面，特别是直线、平面相对位置的基本概念和作图方法。
% H. c8 ]! @5 z. E; S1． 解题的一般步骤
; t7 F  E3 r+ S) M$ H8 W　　（1） 分析题意。主要分析清楚已知条件和欲求结果，以及其应满足的条件。
　　（2） 确定解题方法和步骤。这是解题的关键。
　　（3） 投影作图。
! A2 p* e; {, D, W+ p6 ~" k9 L2． 解题方法
　　2.1 综合分析法
　　此方法就是从已知条件出发，根据作图的要求条件，逐步推理最后得到索要的结果。整个过程都是"正"、"反"结合。这是画法几何的基本方法。
- A0 q( T0 b* |6 J  g) q& J8 e2 P　　例 试过点K作直线KL,使其同时垂直于两相错直线AB、CD(图4-26a)
" e6 X# N; g1 W7 X2 N
. B" ]* o! G* e6 A图4-26 过点作同时垂直于两错直线的直线
  \/ ?0 f; e3 S; M2 k8 O& J% l' G　　解
) ]7 ^0 Z5 \& W% z0 p7 e5 e. L　　分析： 由已知条件可知，所要求的直线KL，应满足三个条件：KL过点K,KL⊥AB及KL⊥CD。因要求KL同时垂直于AB和CD,因此，KL一定垂直于AB和CD共同平行的平面P。为作图简便起见，可包含直线AB作一平行于CD的平面P。
　　作图步骤（图4-26b）
9 o% s2 F5 N5 p% ^* a1 f4 b, O　　(1) 过点B作BE‖CD，则AB、BE确定了平面P。
　　(2) 作KL⊥P,则直线KL即为所求。
; Y. K$ Y0 p8 ^1 u　　2.2 轨迹相交法
4 _$ z: I, N7 w; r0 L　　轨迹相交法是画法几何的常用方法，它适应于有两个或多个作图条件的问题，如果考虑每一个条件，都有无数个解答，并各自形成一个轨迹。这样所得各轨迹的交，即为所求的结果。
8 J* S, U5 j0 L+ F例 已知一直角三角形ABC，其中AB为一直角边，另一直角边AC平行于平面R，且点C距V棉20mm，试完成该三角形的两投影（图4-27a）。
0 @8 S7 Q6 J3 j' D7 Y: H
+ Y6 a, Z/ h; |  V" _, c* f- k图 4-27
　　解
　　分析 由已知条件可知，所要求的直角三角形的另一边AC应满足三个条件：AC⊥AB;AC‖R;C点距V面20mm。满足AC⊥AB的条件，AC的轨迹为过点A且垂直于直线AB的平面P(图4-27b中的MAN平面)；满足AC‖R面的条件，AC的轨迹为过点A且平行于平面R的平面Q.则点C必在两平面PP、Q的交线AL上。在根据点C距面V20mm的条件，在AL上确定点C,最后连接B、C，完成全图。
　　作图步骤（图4-27b）
& w0 W9 p2 s( D) v1 r. O& B$ |　　(1) 包含点A作平面P⊥AB;
; h- s! Z8 t" H# E& ?. K. m　　(2) 包含点A作平面Q‖R;
　　(3) 求平面P、Q的交线AL;
　　(4) 再AL上取点C，试点C距V面的距离为20mm；
4 e5 m! ?" C& d$ b& u　　(5) 连接两点B、C，则△ABC即为所求的直角三角形。
* a0 ?5 c- Z" C) K　　2.3 辅助作图法
　　这是解画法几何题经常使用的方法。通常辅助作图是在投影图上进行，但有时需要在投影图以外进行。 例 试过A作直线AB，使其对H面的倾角α=30°，对V面的倾角β=45°，且实长=25mm（图4-28a）
　　解
　　分析 由已知条件可知，所求直线AB应满足四个条件：AB过点A; α=30°; β=45°;L=25mm,可根据直角三角形法来求。
; E6 c: d/ z) L- F6 |4 h1 ^) Y# s　　作图步骤（图4-28b）
# `# e7 x# s0 R9 t　　(1) 在正投影图以外画出辅助直角三角形，图解求出ab、Δz和aˊbˊ、Δy;
  N/ m# a  L3 }0 `, F# ^　　(2) 根据直线AB的V投影长aˊbˊ和两点A、B的高标差Δz求得点B的V投影bˊ；
8 z8 k+ k1 G" Y: G　　(3) 根据bˊ及两点A、B的纵标差Δy（或AB的H投影长ab）求得bˊ；
　　(4) 连接两点A、B,则直线AB即为所求。本题可有八解.
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