滚切正多边形工件的滚刀齿形设计

李朋

　正多边形零件是工程上常用的工件，一般工厂均采用铣削工艺加工，生产效率低，制品精度差。大批量生产时，可考虑采用滚削工艺以提高生产效率。
一、设计原理
　　按平面啮合原理求出与工件齿形相共轭的齿条齿形，将该齿条齿形作为滚刀的法向齿形。
　　工件齿形为任意齿形（非渐开线齿形）时，滚刀法向齿形的通用求法可按下述步骤进行（参见图1、图2）：
- a* ]3 h% F/ p4 x- [
) w% e& K5 @+ J+ T) ?* [6 Q" Q图1
$ _1 N% n; x4 t' c  k  D/ u6 H: O
, X/ \2 |! I  h& \$ {& Z3 k' L: f图2
　　（1）建立工件坐标系xoy及刀具坐标系x0o0y0；
  w. C5 v9 {+ _! Y% r  R1 v　　（2）确定共轭时的节圆半径rj；
- q. H1 g4 r8 [& Y% s　　（3）写出工件的齿形表达式y＝f（x）；
　　（4）写出滚刀的法向齿形（基准齿条齿形）表达式

式中　φ＝π／2－α－δ
# }  S/ O& t6 b' g（3）
　　　cosα＝（xcosδ＋ysinδ）／rj
（4）
2 m* x) G5 U, p, e" U& u" e　　　tgδ＝dy／dx
（5）
2 [& u) \) j. E3 ?! q1 e　　图1中，xoy为工件坐标系，随工件转动。x0o0y0为刀具坐标系，随刀具平移。x1o1y1为参考坐标系，静止不动。图2中，M点为工件齿形上的任意一点，A点为M点的法线与节圆的交点，φ为M点的转角（转过φ后法线MA将通过节点P），α为变角，等于∠AOB，δ为M点的切线与x轴的夹角。
二、设计步骤
  k9 V8 _+ ?; B( i: x# t" F　　1．引入各坐标系
　　各坐标系见图3所示。
8 t/ o( ?" X# H( a5 a( U
图3
2 R' W; D7 i& ?% B　　2．确定节圆半径rj
　　节圆半径的选择十分重要，选择不当，所求共轭齿形会出现反折尖点，从而产生对工件齿形的根切或顶切；节圆半径取得过小，所求共轭齿形有一部分可能不存在。对于直边工件齿形，其最小节圆半径为

9 c1 q( G6 T4 K' N, t) [, ]（6）
式中，ra为工件外圆半径，此时即为正n边形的外接圆半径；a为形圆半径，此时即为正n边形的内切圆半径。为了计算方便，一般可将节圆取在其外圆上，故
rj＝ra
5 L' G- [8 M& ?4 G: U（7）
　　3．写出工件齿形方程
+ L9 _$ \) e: ~9 n" I　　图3中，CD为正n边形的一条边，E为CD的中点，EO为正n边形的内切圆半径，令EO＝a，则工件的齿形表达式为
! t+ s# C8 D" l8 E) M) F- s/ Q　　4．求刀具齿形公式
7 v8 I& @1 b0 w, s: }9 n　　①按式（5）得　
　　②按式（4）得　cosα＝（xcosδ＋ysinδ）／rj＝x／rj＝x／ra，即
cosα＝x／ra
（9）
# G8 T  N' V! j6 V, z5 ~+ H5 a　　③按式（3）得

8 c1 ]8 m& g! |  E2 R（10）
8 @+ ?+ o- ]2 q, I. ?3 i" f　　将（7）、（8）、（10）式代入（1）、（2）式得
1 h9 L* t1 m6 `9 [  c1 T& J- d
（11）

（12）
　　α的变化范围是从D点到E点（见图3），故当α在D点时，据式（9）得
cosαmin＝xD／ra＝ED／ra＝（l／2）／ra
（13）
　　式中l为正n边形的边长。
0 [  M, Z7 o6 h; @& X, W　　当α在E点时，据式（9）得　　
cosαmax＝xE／ra＝0
αmax＝90°
; r  w6 k; a: P$ X$ ~3 q# K7 T* J　　这样，在αmin～90°范围内，选定不同的α后即可确定不同的x，代入式（1）、（2）即可得出整个滚刀的法向齿形坐标。
　　综上所述，当已知正n边形的边数n，边长l，外接圆半径ra，内切圆半径a，则正n边形滚刀的法向齿形可按以下各公式求出：
/ j( V  g$ ]# G' ]x0＝xsinα－acosα＋ra（90°－α）π／180°
（14）
y0＝ra－xcosα－asinα
1 Z4 V& A5 r6 H! J2 k5 N（15）
cosα＝x／ra　（x＝racosα，x＝0～l／2）
0 C$ ^! I7 k- `4 ]. n8 i（16）
3 H" g$ w. |9 Dαmin＝arccos（l／2ra）
& w: Y% z: R$ \5 \0 f. x（17）
αmax＝90°
（18）
6 f9 k! R' d6 k9 y8 \7 t& J法向齿距Pn＝2πra／n
（19）
5 C2 o! D5 \7 K0 [0 e$ i& @三、滚刀计算实例
　　已知正六边形工件如图4所示。
* O% E& e! j4 u5 w
  o+ X; R7 E2 t" [+ f图4
# L4 P0 f1 a  R0 ^- w" F* u　　则　ra＝20
　　a＝35．47／2＝17．735（按中间值计算）
2 E2 O$ c1 c4 ]6 F' H8 D6 }" e3 V　　
　　arccosαmin＝（l／2）／ra＝62．46765222°
　　αmax＝90°
　　x＝0～9．244986479
　　将α在αmin～90°范围内求出相对应的x后代入式（14）、（15），即可得出刀具法向齿形坐标（见下表）和滚刀的齿形图（见图5）。
表
α
αmin
3 Q  k% _% {6 }" B: O64°
65．5°
…
71．5°
…
! V1 M9 m% s( X% |4 v( {; z5 m86．5°
88°
89°
90°
' ^3 G& y" [: H( L4 q% Vx＝（15）式
$ Q/ Y5 D5 K4 M: \" u9．245
8．767
0 y" O3 _% f5 j+ F8．294
' t0 J3 H4 E. D9 I…
6．346
…
1．221
4 W& L( q1 Y4 t% D6 @5 k0．698
0．349
" F2 }# K7 g; M& z# }0
x0＝（13）式
) l- n# m! @$ I/ ^3 v9．610
% q9 y, g, q  D( X# h9．181
7 E& ~. }5 j% b& R, Z8．745
: J% ]' d8 Q0 V* @- R  B…
' \4 A& Q6 Q7 X5 X1 C3 l8 |# S6．848
…
1．358
0．777
' H! c6 D- m6 H$ H' e: j: a0 p0．388
" U& Y; u  K4 e0
* k7 [- d& y& fy0＝（14）式
! {' \! {9 L* U7 a0
0．217
. j( x( ~5 g& J5 F5 k- y1 {0．422
' G% w8 h  f7 p…
1．168
…
# D6 r$ ]6 T. q, w2．224
2 r  K7 I' U  w7 ~( }7 W2．251
7 [5 p* \, b& G0 C; f  x/ r2．262
2．265
" f6 X8 j5 F- F5 y滚刀法向齿距Pn＝2πrj／n＝2πra／n＝2π×20／6＝20．944

( t/ ^. t' R# D! l图5
% [8 ?9 k! m3 x' t  ^　　图5中，x0轴以上节线为曲线齿形，x0轴以下节线取直线齿形（不参加展成切削），其近似齿形角β可按αmin及邻近α处的x0，y0坐标计算得出。本例取αmin及α＝65.5°的坐标值，则
arctgβ／Δx0／Δy0＝9.610－8.745／0.422＝64°
　　全齿深在y0、αmax基础上加上0.2～适量的间隙量（以保证滚刀齿底牙宽不至于太尖为原则），本例加0.25mm，故全齿深取2.265＋0．25＝2.515mm。
　　因工艺需要，须给出代用圆弧参数，由于齿形对称于y0轴，故取代用圆弧圆心位于y0轴上，令代用圆弧半径为Ra，坐标距离为xa，ya，则根据几何关系可得弓形高EO0为
& _7 [4 ~1 E1 ^9 e5 y
9 l# A. R9 E! k# L3 B( @7 ?即

经整理得

                               
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（20）
& b( y- b  M6 ^% s$ M" w! G- jxa＝x0αmin
（21）
' j/ j+ ~( _1 y& Y+ p0 k7 |ya＝Ra－y0αmax
4 b' L0 c& S+ q( S（22）
! U. T( _; ^/ D8 g　　本例中y0αmax＝2．265，x0αmin＝9．610，代入式（20）和式（21），得出的相关参数为：Ra＝21．519mm，xa＝9．610，ya＝19．254。【MechNet】
& V  {. X" ^. ]9 n( D% \0 G文章关键词： 刀齿