离心力对车削加工误差影响的数学分析

prefsonse

在车削加工中，特别是高速车削时，由于高速旋转零件的不平衡，必然会产生离心力，分析和认识离心力对加工误差的影响是人们常常关注的问题。综合各种结论，一般有两种不同的看法。其一，认为离心力会使工件外圆产生尺寸误差，即半径误差：另一种看法认为会影响外圆的形状误差。本文从数学角度对此问题进行分析，提出与上述结论完全不同的看法。
) [) d# }( x3 z# \% ^1 离心力的数学表达式及其分析
设被加工工件的重力为W，车床主轴的转速为n，不平衡质量m 到旋转中心的距离为r，则离心力FQ 为：
FQ=mrw2=
* R/ H# K' T7 r2 e; N; V- CW
/ N0 X# n$ b; f* a. ~8 F3 d, p- K! kr(
8 u3 ~3 v6 s9 c% G9 n7 @8 t2pn
4 O% ~4 [# z. G6 \+ X)2
g
7 `) Q1 x  G5 h. s( c60
7 K3 t8 }' J  F! K- a% U设工艺系统刚度为KXT，在离心力的作用下主轴轴线的偏移量Ar 为：
$ n; `& S2 n% n1 [Ar=Fo/KXT
(2)
: Q$ h# Y0 K& v由于FQ 的方向是不断变化的，所为我们应通过建立坐标系来研究其变化规律。如附图所示，建立绝对坐标系YOZ，O点为主轴的理想轴心，且假设主轴无回转误差。由于离心力的作用，使主轴的实际回转轴心O1(yo1，zo1)在YOZ平面内以主轴角速度w旋转变化，我们以O1瞬时轴心建立动坐标系统VO1W，则离心力引起的主轴瞬时轴心变化的数学表达式为：
{
yo1=Arcoswt=Arcosf
zo1=Arsinwt=Arsinf
" J9 |4 g; r0 I$ d式中f为离心力的瞬时转角。
绝对坐标系统与动坐标系统之间的坐标变换关系式为：
(
y
8 x! r7 h( y$ _# n8 a, S)
$ A2 ?3 z, i" _$ \% W1 \=
(
yo1
/ Q; D4 J0 K! Z2 z)
, V$ l2 N  c7 Q+
(
- P" [: z0 X# tcosf
+ E( A, p& b% d& G' C( y) M-sinf
* d0 b. }8 v* I)(
V
)
z
4 \7 S$ Z4 ~  d$ f+ Uzo1
2 O0 p1 O$ i8 g$ {3 Tsinf
cosf
w
(
  O$ ~9 }( z+ U! Y  M/ X- Nv
)
=
- R% c0 l, \* A) U2 R6 j* ^) r(
y
; }# S( z1 u( j- x1 ?-yo1
)(
cosf
% U  s1 e$ d  j! Q6 {! Fsinf
)
w
z
-zo1
-sinf
cosf
% O4 E6 e# R+ F' N0 L+ o) X' @车削加工时，由于加工件是随主轴一起旋转的，因此，工件横截面的几何形状是由刀具在动坐标系中的相对轨迹形成的。设刀具在绝对坐标系中的坐标位置为：
# _3 L( U# ~/ l9 L: ]+ }式中r为工件加工半径。
将式(6)及式(5)式代入式(5)得：
: j  H, p6 m0 e# \! E{
v=(r-Arcosf)cosf-Arsin2f=rcosf-Ar
w=(r-Arcosf)(-sin f)-Arsinfcosf=rsinf
* Q8 a9 j+ v% ~8 t4 b0 O/ m由式(7)可得：
0 f" f$ _& G+ W5 K0 _* ~(v+Ar)2+w2=r2
(8)
; O" c0 \: B% W
5 f6 O# [: N3 R' _: g附图