圆柱铣刀前刀面法曲率的计算

flydream007

1．前言
　　对于前刀面为平面的刀具，前角和其它几何角度一起可完全确定前刀面的方位；而对于前刀面为曲面的刀具，几何角度则只能确定前刀面在刀刃处的切平面，不能确定前刀面的形状。前刀面的形状，特别是刀刃处前刀面的弯曲情况对卷屑、断屑和排屑影响甚大，是刀具的一个重要性能指标。文献［1］研究了如何精确磨出圆柱形螺旋刃铣刀的法向前角。本文将在此基础上，进一步对已经保证了法向前角的前刀面进行研究，求出它在刀刃处的法曲率，特别是与刀刃垂直方向的法曲率，从而了解刀刃处前刀面的弯曲状况，为制造性能优良的铣刀提供理论依据。
, O7 T8 W0 c& M　　2．前刀面描述
) z- Z9 k" `! b  L1 d　　图1为用砂轮外圆磨削圆柱铣刀前刀面的情况，磨削原理及各符号的意义已在文献［1］中作了说明。前刀面方程为［1］
5 `/ ~! y" N! F* R/ s9 C
其中θ和 参数曲线方向的切矢 和 为
# x  u) o9 O. }9 F
图1　砂轮与刀具的相对位置
　　这是一般性切矢方程，对于图1中的M点则有

M点两条参数曲线方向的单位切矢仍用rθ和rφ表示，它们为　　
4 C9 S- c9 J; A' ?& w8 w& ^0 |
（5）式中，P为前刀面的螺旋参数， 为M点与xoz平面的夹角　　
$ F5 C8 J+ q( p# B  j0 a
　　M点的单位法矢n（正向由前刀面指向容屑槽）为
' l9 @7 S4 j* G, h2 Z
3 ~! a  B# I1 c1 e1 Q0 Z　　3．方向的法曲率Kφ
　　由图1，砂轮端面与前刀面（1）的交线是半径为Rc的圆，它在M点的曲率为 。由于是平面曲线，该点单位主法矢βc 为（图1）
4 j& o+ D/ a4 b' |
与 之间的夹角θ1为
2 D: b, v2 @0 B) h: [　　cosθ1＝.＝nxsinφcosβw－nysinφsinβw＋nzcosφ              （10）
9 K! G4 O. p7 r) v1 A$ p, r由默尼埃定理［2］可得法曲率

　　4． 方向的法曲率Kθ和短程挠率Gθ
　　由于前刀面为圆柱螺旋面，θ参数曲线就是半径r＝d／2的圆柱面上的螺旋线。圆柱螺旋线上任一点的曲率k和挠率τ为常数，它们为（参见［2］P41的例2）　　
. ~5 D& p) ]: N; ?: B8 |! m$ a# \
　　螺旋线上任一点的主法矢与螺旋线轴线垂直相交（参见［3］P59的习题3），所以M点的单位主法矢 为
' Y! T- I0 u: F$ \& W＝o，－sin               （14）
- M7 H' W8 c/ N* G与前刀面法矢n之间的夹角θ2为
cosθ2＝.              （15）
$ O. @' t- T2 p4 U, S! }- @所以，方向的法曲率Kθ为
" b3 m) m* T3 U$ v
: s4 p! L# t7 f9 E8 c　　圆柱螺旋面上沿一条螺旋线（θ参数曲线）上任一点的螺旋面法矢与螺旋面轴线（x轴）的夹角也是固定的，所以该螺旋线的主法矢与相应点的螺旋面法矢的交角也是固定的。由此可得（参见［2］P237的定理3）
' s& ?3 N  Y$ c, D' M. @+ x' l$ C
　　5．M点的法曲率及前刀面法向截形曲率半径ρM
. }6 M4 ?! p2 F, `3 ]# ~& ?　　图2为M点切平面内的情况。作的垂直方向 ，它也是M点处刀刃的法截线方向，该方向的法曲率用KN表示，则该方向的短程挠率为－Gθ。
0 I" X3 M# @) e. E. c* }/ {0 U
图2　M点的切平面
　　与 之间的
& m# C. u% f: B) |3 [" p夹角Δ为
cosΔ＝rθ.rφ              （18）
方向的法曲率和短程挠率满足
' F) L# n  {( d( r4 l0 l　　Kφ＝Kθcos2Δ＋2GθsinΔcosΔ＋KNsin2Δ
3 S% ?! r9 C7 P' N5 u所以
　　KN＝（Kφ－Kθcos2Δ－2GθsinΔcosΔ）／sin2Δ              （19）
5 H/ v% K$ R3 }( ]+ ]由此即得M点法向截形的曲率半径ρM为
. W& {2 Q1 X0 q. o8 n0 B
! y5 N: ~) T* f& ?2 A求得KN之后，即可求得任一方向rα（图2）的法曲率Kα和短程挠率Gα为
8 x/ X2 q" U9 O# ~6 H5 O" I) d1 X; e+ O　　Kθ＝Kθcos2α＋2Gθsinαcosα＋KNsin2α              （21）
' y* k. w3 R2 L7 p0 p　　Gα＝（KN－Kθ）sinαcosα＋Gθ（cos2α－sin2α）              （22）
- I" `. I$ M! f) y( o. X1 o2 ]3 A+ \　　到此，M点的法曲率问题已完全解决。在实际切削中，流屑方向一般不在rN方向，按（21）式即可求出流屑方向的法曲率，进而可研究流屑剖面（不一定是法截面）内前刀面的弯曲状况。
0 N  ^3 [  p) K% @　　6．算例与说明
　　以立铣刀为例，铣刀直径d＝50mm，螺旋角β＝45°，法向前角γn＝15°，磨削深度h＝10mm，所用砂轮半径Rc＝35mm，砂轮轴线与刀具轴线之间的夹角βw＋90°＝136．5°，磨削中心距H＝48．874mm，磨削偏距E＝－8．338。求得Kθ＝0．005176379，Gθ＝0．02，Kφ＝0．00250113，Δ＝120．7778326°，ρM＝39．4074mm。
4 J) q! J% z3 O& H　　对于一定的切削条件以及特定的卷屑、断屑和排屑要求，存在一个理想的前刀面弯曲状况，一般设计刀具时可以用ρM来表征。当按给定的磨削工艺参数计算出的ρM不能满足要求时，可以改变一些可调参数，例如重新计算Rc和βw。
文章关键词： 圆柱铣刀