圆柱铣刀前刀面法曲率的计算

flydream007

1．前言
" y5 w! d- l5 Q. }　　对于前刀面为平面的刀具，前角和其它几何角度一起可完全确定前刀面的方位；而对于前刀面为曲面的刀具，几何角度则只能确定前刀面在刀刃处的切平面，不能确定前刀面的形状。前刀面的形状，特别是刀刃处前刀面的弯曲情况对卷屑、断屑和排屑影响甚大，是刀具的一个重要性能指标。文献［1］研究了如何精确磨出圆柱形螺旋刃铣刀的法向前角。本文将在此基础上，进一步对已经保证了法向前角的前刀面进行研究，求出它在刀刃处的法曲率，特别是与刀刃垂直方向的法曲率，从而了解刀刃处前刀面的弯曲状况，为制造性能优良的铣刀提供理论依据。
　　2．前刀面描述
　　图1为用砂轮外圆磨削圆柱铣刀前刀面的情况，磨削原理及各符号的意义已在文献［1］中作了说明。前刀面方程为［1］
' L5 V: k& S* x- k
其中θ和 参数曲线方向的切矢 和 为

! o1 r$ a# c0 w' A) m9 {8 W: q) p图1　砂轮与刀具的相对位置
　　这是一般性切矢方程，对于图1中的M点则有
1 a: X- i, A8 b  a+ U! c; Q
M点两条参数曲线方向的单位切矢仍用rθ和rφ表示，它们为　　
$ r  Y7 ^0 F# ^# \- v- [5 c
（5）式中，P为前刀面的螺旋参数， 为M点与xoz平面的夹角　　
' S5 N( X1 j% o
; E5 n: `: b. G( f5 |% G0 c5 k　　M点的单位法矢n（正向由前刀面指向容屑槽）为
' C% H0 o3 d% R. y) E( b3 e
$ O3 G! W+ T  `2 R　　3．方向的法曲率Kφ
* Y" d/ e, B0 p0 m/ \　　由图1，砂轮端面与前刀面（1）的交线是半径为Rc的圆，它在M点的曲率为 。由于是平面曲线，该点单位主法矢βc 为（图1）

9 W  Z# R+ b( }- I) F, X 与 之间的夹角θ1为
　　cosθ1＝.＝nxsinφcosβw－nysinφsinβw＋nzcosφ              （10）
由默尼埃定理［2］可得法曲率

& }8 X; t2 Z5 k# d# {, Q: @+ H" q　　4． 方向的法曲率Kθ和短程挠率Gθ
3 x1 ]* C. w* @8 j2 ?/ @　　由于前刀面为圆柱螺旋面，θ参数曲线就是半径r＝d／2的圆柱面上的螺旋线。圆柱螺旋线上任一点的曲率k和挠率τ为常数，它们为（参见［2］P41的例2）　　
5 ^. ]$ T# p. \2 z) I
　　螺旋线上任一点的主法矢与螺旋线轴线垂直相交（参见［3］P59的习题3），所以M点的单位主法矢 为
9 R; z4 d  S. H7 Q( F2 N; P- u% g＝o，－sin               （14）
与前刀面法矢n之间的夹角θ2为
' z7 f' n5 U, ?1 @cosθ2＝.              （15）
所以，方向的法曲率Kθ为
" B  B! f' ]/ N! E
　　圆柱螺旋面上沿一条螺旋线（θ参数曲线）上任一点的螺旋面法矢与螺旋面轴线（x轴）的夹角也是固定的，所以该螺旋线的主法矢与相应点的螺旋面法矢的交角也是固定的。由此可得（参见［2］P237的定理3）

( T- t5 [1 D+ h% O7 ^　　5．M点的法曲率及前刀面法向截形曲率半径ρM
　　图2为M点切平面内的情况。作的垂直方向 ，它也是M点处刀刃的法截线方向，该方向的法曲率用KN表示，则该方向的短程挠率为－Gθ。
' ~( S4 l$ c2 r1 B/ c
2 A, R  _5 m. J图2　M点的切平面
1 v/ S& Z5 e7 K6 j. G! y　　与 之间的
+ O! n+ ~4 l/ G' j夹角Δ为
cosΔ＝rθ.rφ              （18）
方向的法曲率和短程挠率满足
　　Kφ＝Kθcos2Δ＋2GθsinΔcosΔ＋KNsin2Δ
所以
　　KN＝（Kφ－Kθcos2Δ－2GθsinΔcosΔ）／sin2Δ              （19）
由此即得M点法向截形的曲率半径ρM为
: T; B9 o1 p' K/ @. O0 D$ {, W! O
) s0 Q: p1 O3 U$ N; B' g# Q0 a# R求得KN之后，即可求得任一方向rα（图2）的法曲率Kα和短程挠率Gα为
: y+ P  k: u; [　　Kθ＝Kθcos2α＋2Gθsinαcosα＋KNsin2α              （21）
　　Gα＝（KN－Kθ）sinαcosα＋Gθ（cos2α－sin2α）              （22）
  V9 r- w$ d' t+ ^　　到此，M点的法曲率问题已完全解决。在实际切削中，流屑方向一般不在rN方向，按（21）式即可求出流屑方向的法曲率，进而可研究流屑剖面（不一定是法截面）内前刀面的弯曲状况。
　　6．算例与说明
　　以立铣刀为例，铣刀直径d＝50mm，螺旋角β＝45°，法向前角γn＝15°，磨削深度h＝10mm，所用砂轮半径Rc＝35mm，砂轮轴线与刀具轴线之间的夹角βw＋90°＝136．5°，磨削中心距H＝48．874mm，磨削偏距E＝－8．338。求得Kθ＝0．005176379，Gθ＝0．02，Kφ＝0．00250113，Δ＝120．7778326°，ρM＝39．4074mm。
( }, U. Q/ y) W' g6 P' Q9 q　　对于一定的切削条件以及特定的卷屑、断屑和排屑要求，存在一个理想的前刀面弯曲状况，一般设计刀具时可以用ρM来表征。当按给定的磨削工艺参数计算出的ρM不能满足要求时，可以改变一些可调参数，例如重新计算Rc和βw。
文章关键词： 圆柱铣刀