圆柱铣刀前刀面法曲率的计算

flydream007

1．前言
　　对于前刀面为平面的刀具，前角和其它几何角度一起可完全确定前刀面的方位；而对于前刀面为曲面的刀具，几何角度则只能确定前刀面在刀刃处的切平面，不能确定前刀面的形状。前刀面的形状，特别是刀刃处前刀面的弯曲情况对卷屑、断屑和排屑影响甚大，是刀具的一个重要性能指标。文献［1］研究了如何精确磨出圆柱形螺旋刃铣刀的法向前角。本文将在此基础上，进一步对已经保证了法向前角的前刀面进行研究，求出它在刀刃处的法曲率，特别是与刀刃垂直方向的法曲率，从而了解刀刃处前刀面的弯曲状况，为制造性能优良的铣刀提供理论依据。
　　2．前刀面描述
　　图1为用砂轮外圆磨削圆柱铣刀前刀面的情况，磨削原理及各符号的意义已在文献［1］中作了说明。前刀面方程为［1］

其中θ和 参数曲线方向的切矢 和 为

3 P# J2 a$ X) J! w. ^* y) M* W; `, y图1　砂轮与刀具的相对位置
　　这是一般性切矢方程，对于图1中的M点则有
- W. {8 f; a* K+ [; T/ B2 \( ?
M点两条参数曲线方向的单位切矢仍用rθ和rφ表示，它们为　　
3 n6 m! A& ^, Q: {6 l( m& O
（5）式中，P为前刀面的螺旋参数， 为M点与xoz平面的夹角　　

　　M点的单位法矢n（正向由前刀面指向容屑槽）为
1 ]2 p1 o/ N4 ]+ \0 l' l
　　3．方向的法曲率Kφ
, p% g+ u' o# J. ^/ L0 \　　由图1，砂轮端面与前刀面（1）的交线是半径为Rc的圆，它在M点的曲率为 。由于是平面曲线，该点单位主法矢βc 为（图1）
! U; L0 F8 A9 p* d8 A$ h
与 之间的夹角θ1为
- }  N* S+ T: D+ D　　cosθ1＝.＝nxsinφcosβw－nysinφsinβw＋nzcosφ              （10）
. h% ], c6 `; v6 O/ `& y由默尼埃定理［2］可得法曲率

　　4． 方向的法曲率Kθ和短程挠率Gθ
3 a7 T& r, d% ?) @# l) U. N　　由于前刀面为圆柱螺旋面，θ参数曲线就是半径r＝d／2的圆柱面上的螺旋线。圆柱螺旋线上任一点的曲率k和挠率τ为常数，它们为（参见［2］P41的例2）　　
  |  l+ o; K3 p: R8 a3 p) R- k# l
( S- w& `# @$ I! k0 l　　螺旋线上任一点的主法矢与螺旋线轴线垂直相交（参见［3］P59的习题3），所以M点的单位主法矢 为
4 M6 X2 n. }  c) T: t7 w1 v# G" G＝o，－sin               （14）
与前刀面法矢n之间的夹角θ2为
cosθ2＝.              （15）
# B" R, I/ c- u1 |5 H所以，方向的法曲率Kθ为
2 w0 Z+ h$ B* w3 A  F  Z# ^, ?
　　圆柱螺旋面上沿一条螺旋线（θ参数曲线）上任一点的螺旋面法矢与螺旋面轴线（x轴）的夹角也是固定的，所以该螺旋线的主法矢与相应点的螺旋面法矢的交角也是固定的。由此可得（参见［2］P237的定理3）

1 v) A/ p0 i$ R5 h/ m　　5．M点的法曲率及前刀面法向截形曲率半径ρM
8 A5 |" M  H9 C, {% y　　图2为M点切平面内的情况。作的垂直方向 ，它也是M点处刀刃的法截线方向，该方向的法曲率用KN表示，则该方向的短程挠率为－Gθ。

4 V2 k4 f0 x$ U4 ^' @0 V图2　M点的切平面
　　与 之间的
夹角Δ为
  a0 }- V. X8 Q7 d8 \cosΔ＝rθ.rφ              （18）
6 c" C7 Q% b6 b) ] 方向的法曲率和短程挠率满足
8 A" b# s+ f  c6 v& x　　Kφ＝Kθcos2Δ＋2GθsinΔcosΔ＋KNsin2Δ
( Z+ W5 ?" `( V& H所以
　　KN＝（Kφ－Kθcos2Δ－2GθsinΔcosΔ）／sin2Δ              （19）
9 D$ ?: h2 T  M# v- }, x, s- Z( L由此即得M点法向截形的曲率半径ρM为
$ Z. P0 B2 W9 U/ m1 a8 V
/ t6 Y0 z& T; N3 ?+ h# k6 r求得KN之后，即可求得任一方向rα（图2）的法曲率Kα和短程挠率Gα为
　　Kθ＝Kθcos2α＋2Gθsinαcosα＋KNsin2α              （21）
　　Gα＝（KN－Kθ）sinαcosα＋Gθ（cos2α－sin2α）              （22）
: [0 i: H8 b( n; s　　到此，M点的法曲率问题已完全解决。在实际切削中，流屑方向一般不在rN方向，按（21）式即可求出流屑方向的法曲率，进而可研究流屑剖面（不一定是法截面）内前刀面的弯曲状况。
) O/ H5 \: r$ k. u1 R4 ^　　6．算例与说明
/ p& [' U* L) i! }% w6 b3 G　　以立铣刀为例，铣刀直径d＝50mm，螺旋角β＝45°，法向前角γn＝15°，磨削深度h＝10mm，所用砂轮半径Rc＝35mm，砂轮轴线与刀具轴线之间的夹角βw＋90°＝136．5°，磨削中心距H＝48．874mm，磨削偏距E＝－8．338。求得Kθ＝0．005176379，Gθ＝0．02，Kφ＝0．00250113，Δ＝120．7778326°，ρM＝39．4074mm。
　　对于一定的切削条件以及特定的卷屑、断屑和排屑要求，存在一个理想的前刀面弯曲状况，一般设计刀具时可以用ρM来表征。当按给定的磨削工艺参数计算出的ρM不能满足要求时，可以改变一些可调参数，例如重新计算Rc和βw。
文章关键词： 圆柱铣刀