锥形螺旋铣刀的数控加工及成形原理

问道

一、前　言
　　锥形螺旋铣刀是用于加工复杂曲面工件（如叶片、模腔等）的异形刀具，随着机械加工对象日趋复杂化，此类刀具的应用也日益广泛。制造锥形螺旋铣刀的传统加工方法如凸轮补偿法、皮带变径法、变距丝杠法、非圆齿轮传动法等都无法完全实现刀具等前角和等刃带宽。为此，本文提出在普通数控铣床上加工锥形螺旋铣刀的方法及其成形原理。
7 D% `' @* V! w- P二、锥形螺旋铣刀的数控加工及成形原理
1．简易铣齿装置
% s7 c, J( Z: g/ ^6 a! u1 l. T" Z　　本加工方法是通过在普通数控铣床上增加一套简易铣齿装置来实现的。如图1所示，将单角铣刀（二次刀具）通过7∶24锥柄与机床主轴相连，在工作台上增设一个FANUC-BESK　FB15型直流伺服数控电机，通过套筒与分度头的输入端相连。

图1
/ U1 w0 m" g! S$ D; d　　2．坐标系的设置
  q; n9 i. _) T  x/ l5 }4 B/ E　　坐标系的设置如图2所示。

图2
6 N, k+ u/ k1 V8 V5 V0 i9 D- j# F　　图中，（O（0）－X（0）　Y（0）　Z（0））为固定坐标系，X（0）方向为机床纵向，Y（0）方向铅垂向上，Z（0）方向为机床横向；(O（1）－X（1）　Y（1）　Z（1））为辅助固定坐标系，X（1）为工件轴线方向，Z（1）与Z（0）重合，X（1）与X（0）的夹角（仰角）为τ；（O（s）－X（s）Y（s）)为与刀具固连的动坐标系，Y（s）与Y（0）平行，x（s）与x（0）平行，O（s）在铣刀中心，O（s）的坐标为（xc，yc，zc）。
) B3 V; Z2 L0 F% @! s4 D+ {2 O　　坐标变换矩阵为     （1）
5 s! y7 g! C1 j+ M* I　　3．刀刃曲线方程
　　如图3所示，圆锥面上一条等螺旋角刀刃曲线上任意一点的坐标可表示为     （2）
式中　r——p点的回转半径，r＝xtgξ（ξ为锥顶半角）
# T* ?; C7 @2 j, i　　　Ψ——p点半径相对于xoy平面的偏转角

图3
　　根据微分几何原理，圆锥螺旋线的理论偏转角为     （3）
　　工件旋转轴称为B轴，当B轴旋转?角后，则有      （4）
+ R: u6 x: @2 _6 _1 P) m; Y% |　　对于相邻的两条刀刃曲线分别有
    （5）
    （6）
式中　z——刀齿数
　　　δ——刃带宽度
* o' r% O1 Z5 x1 D　　用计算机打印出的刀刃曲线如图4所示。

+ p! X6 i" P1 }8 J图4
　　切线矢量tA、tB分别为
   （7）
- O7 Z# K7 h* d- N- Q     （8）
式中　dr/dx＝－tgξ
, T: x. D8 H  W, w3 BdΨ/dx＝－tgβ/sinξx
) x' U1 \9 b$ d0 C　　4．砂轮表面方程及法矢量
6 j; y* H% C" }2 `; k1 R　　为了建立砂轮与刀刃的接触条件，首先需要列出砂轮表面方程及法矢量。如图5所示，砂轮锥面方程及法矢量分别为
  e8 I' \0 F! i7 K* v* g  a     （9）
    （10）
" d, Y2 K  C9 B3 k7 c式中　R——锥面大圆半径
/ }8 V: d5 z5 O8 @/ ERA——锥面任一点回转半径
+ H5 _4 f) i$ |( f+ TθA——位置参数角
& k0 H) k# Z% ^+ z* Pα——锥底角
; H6 j! F1 A, k& b$ [, H6 P
9 ?8 J  b! {+ I/ d图5
. l. i) t2 A* a- Q　　砂轮底面方程及法矢量分别为
8 X. }& Q5 X5 X! \7 O     （11）
: B: L/ n5 i( Q- v6 f/ l1 x     （12）
8 N" l1 J8 Z+ r9 J) O' ^式中　RB，θB——底面位置参数
: L0 x; k2 _4 h& i( h, g; `1 U* I　　5．刀具与工件的接触条件
　　加工时，铣刀锥面与刀刃曲线A接触，铣刀底面与刃带B相切，故在接触点有
    （13）
　　在式（13）～（20）的8个方程中，有xA，xB，RA，RB，θA，θB，xc，yc， 共9个未知量，其中一个为参变量，代表加工过程中的一系列加工位置，故方程组可求解。
　　6．解析法求解运动方程组
) u3 B; K6 }  Y. n7 Z$ y: m　　为求解上述方程组，取xB为参变量，依次取一系列xB代表加工过程中的一系列加工位置，式（17）可写成     （21）
　　由上式求解出?，再代入式（19）求出yc，再以xA为自变量，任取一个xA值，由式（13）求出θA，由式（16）求出RA，再代入式（15）求yc，该yc应与式（19）求出的yc相等，这需要反复调整xA值才能实现，故原八维方程组的求解转化为一维非线性方程的求解。最后由式（14）求出xc。加工时需x，y，B三坐标轴联动。
　　7．半解析法求解运动方程组
+ ^% V" D3 @, `* Q$ b; q7 z　　求解运动方程组的另一种方法为半解析法（半成形法）。具体方法如下：为便于加工，规定当刀刃曲线A上任一点被加工时，该点均应转到z（1）＝0平面内，即处于最高点位置，这时刀刃曲线的偏转角ΨA正好被工件的形成位置?所弥补，因此有
ΨA＋＝0    （22）
故有
, J/ M/ @- c7 S0 F. _
此外，规定τ＝ξ，即仰角等于锥角，则有
3 j& R( l! J6 B
+ T5 T$ ?' ]6 n: J故有

5 R2 \' x+ Q7 q. h5 D由 得
$ s3 E/ O" S! e. M# G　　cosβcosθA＋sinβsinθA＝0
, T; y6 X5 V: p+ b8 k- q6 ^9 M( \8 i　　－θA＋β＝0             （27）
% a! _* y3 F+ r' u$ A　　θA＝－（β－90°）
上式关系也可图6所示几何图形直观求出。
7 K8 K3 }* O+ A! `1 u: u9 M6 R
. W* P# P: R& N2 r" l图6
　　因此，式（14）～（16）表示的接触条件转换为
2 E) w8 s* S: U9 d" ^+ PRacosθA＋xc＝xA／cosξ　　　　　（28）
( U- t. I( Z8 L+ m+ a（R－RA）tgα＋yc＝0　　　　（29）
RAsinθA＋zc＝0　　　　　（30）
3 H7 E/ ]% z6 B  A3 x/ t6 L　　铣刀底面与刃带B的接触条件为
    （31）
/ Z# s' \; \4 K( j: U      （32）
依次给出一系列xA值，由式（22）求出?，由式（27）求出θA，由式（31）求出xB，由式（32）求出yc，再由式（29）求出RA为
RA＝R＋yctgα　　　　　　（33）
上式关系也可由图7所示几何图形直观求出。
. _; w" y& |% X/ K2 n5 ~# e) j6 B+ F3 H　　最后由式（28）和式（30）求出xc，zc分别为
xc＝xA／cosξ－RAcosθA　　　　　（34）
  ~& V7 |4 O" b. t5 hzc＝－RAsinθA　　　　　　（35）
; ~2 p3 ]" c7 P　　加工过程需x，y，z和B四坐标轴联动。用这种方法加工可以得到等法向前角（即铣刀锥底角α的余角）。

图7
三、结　语
　　按解析法加工锥形螺旋铣刀时，工件的位置、刀刃曲线上的被加工点以及二次刀具的位置等均未预先给定，而是通过运动函数方程组的求解得到。按半解析法（半成形法）加工锥形螺旋铣刀时，工件的位置和刀刃曲线上的被加工点由人为给定（但最后仍能满足全部方程组），二次刀具的位置则通过运动函数方程组的求解得到（故称为半解析法）。采用这种加工方法，刀刃曲线被人为旋转到被加工位置（类似于成形法），但刃带上对应接触点是根据等刃带宽和相切条件确定的，故又可称为半成形法。这种方法概念明了，数学形式简单，计算方法简便，易于推广应用。
文章关键词： 数控加工