关于二轴联动数控加工球头铣刀的几点说明

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1 引言

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球头铣刀是加工复杂曲面(特别是自由曲面)工件的重要刀具，研制高质量、低成本的球头铣刀具有重要的经济意义。本文第二作者在《哈尔滨工业大学学报》1996年第5期的《等角螺旋铣刀二轴联动数控加工方案及其几何模型》中介绍了与工具厂科技人员合作研究的二轴联动加工回转刀具的基本原理和对应模型；本文作者在《工具技术》1999年第12期的《球头铣刀刃口曲线的求解及螺旋沟槽的二轴联动数控加工》中给出了二轴联动加工球头铣刀的刃口设计与沟槽加工的通用数学模型，并实施了计算机虚拟制造。但由于对接近球头铣刀球顶区域的刃口设计与制造的难点问题未展开深入讨论，因此使该方法的实际应用存在不便。为此，有必要针对《球头铣刀刃口曲线的求解及螺旋沟槽的二轴联动数控加工》作一些重要说明，以供读者参考及便于用户应用。 1 @; e5 o0 C `- z# f( ~

下面重点对采用与轴线成定角螺旋刃口的球头铣刀在设计、制造中的难点以及相应的处理方法和数学模型作一简介，然后通过虚拟制造中的相应图形验证其可行性。希望这些说明对与经线成定角和等螺距两种螺旋刃口的球头铣刀的同类研究也会有所裨益。

2 球顶刃口曲线设计难点及解决方法

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1. 螺旋刃口的设计难点
   令球头铣刀的球面方程为 ( |% g- X3 P: ^1 w# `# G& b- N u; L9 ]* _+ {6 { r0 y- o S- h9 |

   r=｛(R2-z2)½cosf，(R2-z2)½ sinf，z｝

   (1)

   式中：R———球面半径
   z，f———球面参数 $ e( D2 B5 \) C: k# u
   球面上与轴线成定角y 的刃口曲线应当满足微分方程 + }4 E# U& j: b0 e7 \) K4 L% k. K: x; U4 l0 I) d% @) Z! f; J" g/ v2 Q. U

   (2)

   当R²tan²y-z²sec²y<0，即在z> Rsiny 时微分方程无实解，也即在此部分球面上设计不出与轴线成y 角的刃口曲线。
2. 后续平面刃口曲线 2 g* ~! i8 o5 M) i
   由于在球头上z∈［Rsiny，R］的部分区域内设计不出与轴线成y 角的刃口曲线，因此只能用其它刃口曲线替代，最简单的方法是用平面刃口曲线替代。如要保证刃口曲线在连接点处的一阶导数连续，且前角相等，取z=Rsiny 的刃口曲线点作为连接点并不合适。由《球头铣刀刃口曲线的求解及螺旋沟槽的二轴联动数控加工》可知，磨削沟槽时砂轮的轴向、径向进给速度分别为 & k0 d+ ?) k9 q8 U* C) P& b+ C# U* c. ]7 \1 N4 P$ u9 n: B; t+ a( A4 A r- f* o( @8 X- }" v f; |- m- i4 b4 T* a, J- q- f1 ?! @0 }+ y* H1 Z- l: t% C. T6 a* g; E3 T$ h

   	(3)
   	(4)

   式中：r——沟槽底部所在的截圆半径
   w——刀体回转角速度 " \& g1 K( r9 a" P1 a- d' \3 S; W) ?* F% e0 \$ f. Z: B. z& `6 w$ L$ Q3 m U' {1 j0 |+ |$ g! I$ O' m! U) H+ V9 k' u& Q

   图1 进给速度曲线

   图2 刃口曲线的截面

   " \! J) B5 y/ O/ a' z4 Q
   由图1 所示速度变化曲线可知，当加工接近z=Rsiny 的沟槽时，进给速度v_z、v_g均趋于无穷大，这在实际制造中是无法实现的。因此，在选择连接点时，应离开z=Rsiny 一定距离，避免因进给速度剧变而给工程实现带来的困难，选取z=Rsin(y -y₀)(y₀>0)即可解决这一难题。 1 v0 M1 p* |) L
   下面的问题是求平面方程。虽然许多文献均提及这一问题，但均未给出数学模型，故简介如下：由《球头铣刀刃口曲线的求解及螺旋沟槽的二轴联动数控加工》可求出z=Rsin(y-y₀)时得到的刃口点A的坐标( x₁，y₁，z₀)(如图2所示)以及A点刃口的切线向量为 9 b% F' {. C" V. @6 F% h9 d9 Q$ y# [5 M6 U2 u; \3 W; E$ l$ J; ?7 J6 o. z) ~

   r1’=( x1’，y1’，z1’)

   (5)

   由A 点作Z 轴垂线交Z 轴于B 点，则B 点坐标为(0，0，z₀)，因此刃口所在平面除过A 点和切向量r₁’外，还需过与AB 成g 角的前刀面上的截线AC，由直角三角形ABC 中∠C=p/2，∠BAC=g(前角)可知，C 点坐标( x^*，y^*，z₀)满足方程组 - _; |8 b1 F5 K; i- ~/ K* C. ?: {0 {- U* A) X+ S$ N3 @, K$ v# T- u( B. h/ f, |2 Z( k7 w/ U% t$ ?; Q/ u6 O8 W

   (6)

   由上述方程组求出x^*和y^*，则刃口所在平面方程为 7 k1 j# R4 I; P. c｛x₁’，y₁’，z₁’｝×｛x^*-x₁，y^*-y₁，0｝×｛x-x₁，y-y₁，z-z₀｝=0即 1 Z, h7 l% v' D; ^9 ]

   z1(’ y1-y*)( x-x1)+z1(’ x*-x1)( y-y1)+［ x1(’ y*-y1)-y1(’ x*-x1)］( z-z0)=0

   (7)

   平面方程(7)与球面方程(1)的交线即为刃口曲线。显然，这一刃口曲线既与原设计刃口在连接处连续，又对应前刀面有前角g。
   ' W e6 Y9 u6 t0 K$ n8 b
3. 后续螺旋刃口曲线 + s& `& ~4 ]/ }7 E4 D2 ^) _
   如许多文献所述，平面刃口不利于排屑，有文献提出用椭圆柱与球面交线作为刃口曲线的设想，其目的也是有利于排屑。为使本文不致过于冗长，这里仅对采用另外两种定义(与经线成定角和等螺距)的刃口曲线替代球头上z∈［Rsin(y-y₀)，R］部分刃口曲线的思路作一简介。
   事实上，《球头铣刀刃口曲线的求解及螺旋沟槽的二轴联动数控加工》已给出了与经线成定角和等螺距两种刃口曲线的整套计算公式，因此关键在于连接点处的计算。这比采用平面刃口法更易处理，只需将点A( x₁，y₁，z₀)的参数f=f( z₀)设为求替代刃口曲线在该点相应参数f 时的积分初值即可，这相当于将与经线成定角(或等螺距)的螺旋线连接到已有的与轴线成定角的螺旋线上，由于前角一致，故可按《球头铣刀刃口曲线的求解及螺旋沟槽的二轴联动数控加工》的相应方法进行加工，即可得到复合型的两段螺旋刃口及沟槽。

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3 球顶刃口曲线的加工问题

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除可用平面曲线对球顶刃口曲线进行修正外，用上述与经线成定角或等螺距的螺旋刃口作为后续刃口曲线时都会遇到《球头铣刀刃口曲线的求解及螺旋沟槽的二轴联动数控加工》提及的加工问题，即当加工至半径满足(R²-z²)^½½-1)r₁/r后，过切将不可避免。《球头铣刀刃口曲线的求解及螺旋沟槽的二轴联动数控加工》中提到可用平面刃口替代，这一模型已在本文第2章第1节中给出。

第2章第3节所述刃口曲线的后续处理方法为：改用半锥角为g 的砂轮底部磨制这段沟槽，刃口连接点的处理方法如第2章第3节节所述，进给速度仍按《球头铣刀刃口曲线的求解及螺旋沟槽的二轴联动数控加工》中的相关公式计算，这样可获得比第2章第2节所述更为理想的刃口曲线。

4 计算机虚拟制造验证

按上述方法对设计和制造难点进行处理后，对其结果进行计算机虚拟制造验证。由计算机虚拟制造图可见：用平面刃口曲线填补与轴线成定角刃口曲线时，刃口曲线是连续光滑的；用其它两种螺旋刃口曲线填补与轴线成定角刃口曲线时，刃口曲线为两种螺旋线的组合。采用更换砂轮法制造的这段刃口曲线与原刃口曲线的连接是连续光滑的，只是沟槽截形发生了变化，如图3 所示。其中图3a 为原砂轮磨制出的沟槽截形；图3b 为改用半锥角为g 的砂轮磨制的沟槽截形。显然，图3b 不及图3a 理想，但这一区域很小，且切削速度也不高，故仍可接受。

图3 铣刀球头沟槽截形对比

5 结语

需要说明，由于校对疏漏，《球头铣刀刃口曲线的求解及螺旋沟槽的二轴联动数控加工》中等螺距刃口在螺旋角y 相关公式中存在偏差，请读者参考任秉银、唐余勇所著《数控加工中的几何建模理论及其应用》(哈尔滨工业大学出版社2000年出版)的相关叙述进行修正，并在此表示歉意。 # c M* ]* N `9 Q& U

通过本文的说明，不难看出在球头铣刀的设计与制造中确实存在容易疏忽的难点问题，本文为解决这些问题提供了有效的方法，这些方法已在台湾地区得到成功验证，因而可供同类研究参考。