正弦尺测量中量块尺寸的计算及误差分析

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1．正弦尺测量中量块尺寸的计算

　　正弦尺是一种测量精度高、使用方便的精密量具，常用于测量内、外锥体的锥角及外锥体的大、小端直径，也可用于测量锥螺纹的基面中径和角度块的角度值。
　　常用的正弦尺两圆柱中心距有L＝100mm和L＝200mm两种，每种又分为窄型和宽型。此外，还有带顶尖正弦尺和方型正弦尺。
　　正弦尺测量外锥体的情况如下图所示。
　　正弦尺测量时应垫量块尺寸h常用下式计算：

0 ~. Z3 c# N. X

h＝Lsinα      （1）

式中　L——正弦尺两圆柱中心距
　　  α——工件锥角
　　当没有三角函数表和计算器时，h可按另式计算。将式（1）改写为

' }" y% k$ ?9 R9 X$ Q5 |

图

表1　测量一般用途锥体一览表

9 Q/ q) j! o: w7 r! n3 Y. c# n/ d8 m$ B: N" r) D: f. ^7 p; }/ \3 }& X2 O4 G; k3 i/ F$ w/ y8 H% P- ^0 o! ~8 G0 _- B8 z& W' p. I+ K3 ]$ K5 j% z8 }8 h1 l; d' H1 ^* l. A+ U0 `7 b- ?1 z- Q- ~4 l ]# o* q4 O! y: _) V1 r; O( L' m9 @6 a2 ]8 s, R7 a3 R3 W" H2 ]# q% b9 z" y9 w) j( q2 Q( q ?# s, U8 y& i# |; x) T4 i' ^ D0 Y2 W9 z8 y( _1 \( ?' Q. A+ E) t n! |# Y# Z! C3 m# I2 C' V1 o' {, L( q+ G/ G9 D: s- _, t# w2 Y3 i, C( y: o' l! U! Q* t# W2 E4 B# E- q' m( t/ h; s+ A1 ?* X3 c. d Y, o9 l- }% R" r$ M m8 Z8 x: I0 C( X: r8 R0 `3 D' V0 w G$ O( e& `: Z h' D& f4 e: T7 w) o Q% j9 Y& t( C& c' f( ^' n5 P9 p1 x: F% m: ^# }7 B' \$ F8 ~% a- n3 o2 r2 \1 h0 @ v8 z5 R3 [" x/ u7 R5 w- ]/ J* ^' C3 f J& `: ^5 c6 l% |5 B7 x/ R2 e0 v' q; Z" i. s v8 A0 ^6 O9 x7 K L' K; ~( ]* r# e6 n$ n7 ?! L& z- N- g7 N- a/ [: w; m5 z2 `/ b" S0 h+ C! @7 l4 q0 u; P! q: ~: ]# K% m2 K: T- g+ {6 K- D) L# ~/ s9 N' v3 O! S9 }$ D/ o3 m' c! ^0 c9 j" P6 k x) d' i1 t2 S2 T; E0 p* a! C/ K, C; K% `: k" _: W( t( w5 c# ~/ l) [# c/ z) }" l# x5 n9 t* ]- L$ Q U7 v9 o. h# F( h3 x- f# q3 l4 I2 W" ~! N' ]7 }2 f: A$ B: T& s) F) l" |+ s$ D3 G* X% X9 V: {* P! j1 L( Q: ]' L! D1 H# k4 \" w' P. d2 }' e$ `+ N4 |+ s1 F/ D" [$ R. E: T, N3 U& v, y4 y# r3 C- z+ [9 Z8 P( E: {; ^5 R3 X8 C( m( p, K [; H) N0 C7 E- _7 ?& t5 O n: ?% }, D$ R+ I4 Z4 b8 j7 m2 o* i$ Y3 m2 X8 L5 O8 j: v B" K: D- c- s2 r( x4 Y8 I! [! u* B4 G& n! U$ R; \ z) U& d* D9 Q. y( _( n3 c" i$ K8 H. l# m H; w2 [5 j" T5 `2 K3 c* o, h! \* w7 f$ R% B1 P$ Z4 Y% l1 {6 m4 d" l& G" p: d9 s' }4 \ j. u7 B: U3 i& t& J- ^; O4 [+ G, A7 A1 R2 S9 K- c( [$ R( O0 M! S) D, X& i; X" ~" ]& D$ D1 ]9 T8 m7 d* a/ P6 ^' i8 K8 V$ y8 ]4 f- e/ I8 `6 m; q. l% ^7 I% K: e S- u1 Y( X( Z8 |6 n# t) r% c, v1 X% @+ `( N9 k( y) |% L% m# E% G2 x& g: w( m, \+ J, A- t S. I1 C0 ?) c* y" H: u) y* J3 A) _5 |, _$ V! s0 E+ b7 n j/ A1 W; d4 p1 _3 q' C; p4 r! V& [0 U8 ~9 m2 ]( @0 l m* f) `) S5 [' Y7 @* |1 ?% S. C$ L# l0 J) V% x- J# a* R% v7 Q3 c( w) \/ i2 g# ^! l6 o! S+ x, \ X; l a/ B$ J' @7 p5 P: S1 s2 K5 l" ]# p$ H5 K8 H5 j( O, q! |9 T+ Z/ D+ z; S' O5 J- m2 j1 P9 a6 {8 d; ^! l$ v8 c2 M: S" T: \: E1 G9 E$ v' b* W5 x. y' G2 W @$ F/ x

基本值	推　　算　　值			L＝100mm正 弦尺应垫量块 尺寸h（mm）	L＝200mm正 弦尺应垫量块 尺寸h（mm）
	锥角α	半锥角	锥度C
120°	－	－	1∶0．288675	－	－
90°	－		1∶0．500000	－	－
75°	－	－	1∶0．651613	96．5925	193．1851
60°	－	－	1∶0．866025	86．6025	173．2051
45°	－	－	1∶1．207107	70．7106	141．4213
30°	－	－	1∶1．866025	50．0000	100．0000
1∶3	18°55′28．7″	9°27′44．35″	－	32．4324	64．8648
1∶4	14°15′0．1″	7°07′30．5″	－	24．6154	49．2307
1∶5	11°25′16．3″	5°42′38．1″	－	19．80198	39．6039
1∶6	9°31′38．2″	4°45′49．1″	－	16．5517	33．1034
1∶7	8°10′16．4″	4°05′08．2″	－	14．2132	28．4264
1∶8	7°09′9．6″	3°34′34．8″	－	12．4513	24．9027
1∶10	5°43′29．3″	2°51′49．6″	－	9．9750	19．9501
1∶12	4°46′18．8″	2°23′9．4″	－	8．3189	16．6378
1∶15	3°49′5．9″	1°54′32．9″	－	6．6592	13．3185
1∶20	2°51′51．1″	1°25′55．5″	－	4．99687	9．99375
1∶30	1°54′34．9″	0°57′17．4″	－	3．3324	6．6648
1∶40	1°25′56．4″	0°42′58．2″	－	2．4996	4．9992
1∶50	1°08′45．2″	0°34′22．6″	－	1．9998	3．9996
1∶100	0°34′22．6″	0°17′11．3″	－	0．99997	1．99995
1∶200	0°17′11．3″	0°08′35．7″	－	0．49999	0．99999
1∶500	0°06′52．5″	0°03′26．3″	－	0．19999	0．39999

1 `9 F0 P- b% b9 ^0 ?7 J

6 h9 x8 i ?- B7 w8 R7 Z( y! j! N" u+ J3 v3 W/ G1 F/ N

表2　测量特殊用途锥体一览表

: U! k% Z' M2 t- p6 Y/ M # s. W* Q- ]$ |6 u( q1 m3 O2 g* \$ y4 j0 t R) c6 z' d; S) O. j5 p2 y- S- e5 R% r4 \& S3 h1 b! _% [1 W8 Q O: E& A8 D. T4 E8 a/ ] M4 |: ^+ V& l0 A; ^% a4 c9 {' m! h2 O+ o2 w9 j# W( R: b* l3 `/ N' q' E0 e6 e- z. x* A& t+ _- g5 I$ a# a$ y2 ~7 R- O4 f& H0 {$ I4 h; H) M+ V; S, T) n, G! u z k; k& n Z2 H: C* m3 ]6 e- T% Y. d" c4 ~/ Q5 e6 L& a- d# a& c, [. B2 N) M. w% X" ?$ u& p% U- K* h' A5 E" r1 N3 y8 k0 A; }8 h# } f! Q! c# I% u1 [1 s. G; L7 c8 _: V, X$ W' H2 ?8 c! c9 y3 d4 y- J& G! O( C1 b2 a. Y& K5 ^. j3 S; W+ B1 N# `$ P9 ~0 }1 z) p; ?9 T7 @$ w2 w6 {$ y" E" T+ X, B+ _3 J) G s* o' i. I/ L: O7 M1 Z3 L/ }7 T2 ]/ N5 P$ R2 d* a9 ~0 q, |' E) j* H# d+ q1 `7 e5 ~5 \0 e, Y, h* L" x2 j* n7 R: z/ j* T! {# F) z) i( N" P4 j" H2 d" J; O5 f/ m% ? J4 K6 n' g' x9 j, _2 N+ k1 u% T& Y! m0 W m* [* y7 S9 r0 Z% g+ f2 p1 Z1 c+ {) @1 Q* j: i* v3 c: E6 p( W/ x) g. A- c( y! F1 K; K+ M' \) [. o" B( f9 R6 W$ i6 D* k1 A% O# b% o) r9 x7 }: d2 h/ S, |) o7 R) G! x1 I4 M/ ]* q) V }* d' X" A$ E1 B% V/ F ~6 [% v/ S: _+ C1 p: e! T% U- w1 v7 H/ J ]( X7 `, @$ K+ n+ R: w" z+ B! ?( P4 O( ?" I/ ~ t9 E, k5 w0 U U' m& u& L& ?, f, N- T, ]; F2 j8 [, e$ p4 g& p, n- o& u! [; g; R, o; x( a( ]3 v. |. B- n2 H$ B1 Q0 |& J/ \9 f/ ^: i$ K: x( B5 e6 i J2 u5 O' ]# H2 ~+ Z& L6 T L" L, }3 r: h: K& r1 |2 I: D6 D* a5 L) K; o+ s, U r, Z' w6 X, `, j2 B8 S( V' ]) S7 _6 a$ D' S; Z3 e9 R p, |. k: X. W, [% m: l- |! e( i, }0 j6 X! X6 R' f9 s4 y7 P: k6 N7 \5 R0 I. |- g) H0 J6 ?* H w! T- l A9 _1 d) [5 G7 [' |) l# z G: Y6 v7 g9 S* h. [2 N: G0 H A3 f# t% m/ v2 a) \0 l3 {. o# J9 ? j, s+ Q# A. P/ ^+ ?2 M# l3 R! {3 y+ E" ]6 d2 q$ z& q$ F. p; J* F3 B6 t7 U; i5 X$ s! [1 L2 e8 B. `- ]$ o" x {+ E0 S0 y6 z$ E' L% @2 N& M' i, Z2 h2 C, ?# d& s: B! v% O5 v+ x: t1 F1 e; S. W! ~& z5 d- o$ j# `# X- r) D9 [- W% H0 n8 |4 ~2 O$ c% U4 j' V }' J0 R, l7 G8 T. w2 o" S* f$ w$ l1 }7 H2 E, F% I) n6 t0 d0 U d) H, G/ a0 c c! N( P7 J% @3 i& N" C, e! O0 D: I5 ?( z' r6 N5 A2 m* v3 @2 }! p. F8 v4 L) s: B R2 L6 x, z4 |- q* v0 s2 p3 d6 H, q+ A. h6 A, `/ O- b- E6 v; {: M& q3 ~. T" ]* H* j r8 P: K/ Z- q0 k k$ I* x8 Y# X, R6 D: f2 f, B2 y

基本值	推　　算　　值			L＝100mm正 弦尺应垫量块 尺寸h（mm）	L＝200mm正 弦尺应垫量块 尺寸h（mm）
	锥角α	半锥角	锥度C
18°30′	－	－	1∶3．070115	31．73046	63．4609
11°54′	－		1∶4．797451	20．62041	41．2408
8°40′	－	－	1∶6．598442	15．0685	30．1371
7°40′	－	－	1∶7．462208	13．34096	26．6819
7∶24	16°35′39．4″	8°17′49．7″	1∶3．428571	28．55928	57．11857
1∶9	6°21′34．77″	3°10′47．4″	－	11．07692	22．15384
1∶12．262	4°40′12．2″	2°20′6．1″	－	8．14174	16．28347
1∶12．972	4°24′52．9″	2°12′26．5″	－	7．69747	15．39495
1∶15．748	3°38′13．4″	1°49′6．7″	－	6．34361	12．68729
1∶6．666	3°26′12．67″	1°43′06．3″	－	5．99484	11．98969
1∶18．779	3°03′1．2″	1°31′30．6″	－	5．32132	10．64264
1∶19．002	3°0′52．4″	1°30′26．2″	－	5．25896	10．51792
1∶19．180	2°59′11．7″	1°29′35．8″	－	5．21022	10．4204
1∶19．212	2°58′53．8″	1°29′26．9″	－	5．20156	10．40311
1∶19．254	2°58′30．4″	1°29′15．2″	－	5．19022	10．38045
1∶19．264	2°58′24．9″	1°29′12．4″	－	5．18753	10．37507
1∶19．922	2°52′31．4″	1°26′15．7″	－	5．01641	10．03283
1∶20．020	2°51′40．8″	1°25′50．4″	－	4．99189	9．98378
1∶20．047	2°51′26．9″	1°25′43．5″	－	4．98517	9．97035
1∶20．288	2°49′24．8″	1°24′42．4″	－	4．92603	9．85206
1∶16	3°34′47．4″	1°47′23．7″	－	6．2439	12．4878
3∶25	6°52′2．1″	3°26′1．1″	－	11．95695	23．9139

7 l0 k- w& K# t$ t' Z2 G

% t' i2 p' ^$ u F" w0 j$ Y m O8 l" S; d* r

将工件锥度c＝2tg（）代入上式，根据三角原理可得

式（2）不含三角函数，计算不需查表。由于C小于1（120°、90°、75°和60°锥体除外），计算不太方便，为此，令C＝1／M，则式（2）变为　　

6 d' M; `- g4 ?) E8 c# w

式（3）中各值均为整数，计算相当方便。
　　式（2）中，若锥度C用C＝a／b表示，则式（2）可化为

* J: u7 L( ~, d6 o/ \9 |9 L. {

式（4）适用于7∶24、3∶25等特殊锥体的计算。
　　式（1）～（4）虽形式各异，但实质相同，对同一测量问题用任一公式计算均可得到同一结果，式（2）～（4）不含三角函数。但对于锥度C为循环小数的锥体（如7∶24）不宜用式（2）、式（3）计算。
　　按式（1）算出用L＝100mm和L＝200mm正弦尺测量一般用途锥体和特殊用途锥体时应垫量块尺寸h，列于表1和表2，可供测量时查用。

8 u, Q* m3 g. q0 H/ C

　　2．正弦尺测量的误差分析

　　根据JJG37－92《正弦尺检定规程》，1级精度的窄型正弦尺的主要技术要求如表3。

" U9 U5 C6 w p! Y7 m" m $ F. v2 j/ |1 ]- o. Y8 ^( S2 ^1 E+ ` E0 f! Y" C7 B) O, o9 I6 Y- s5 n5 ]) ~- |3 d

, A0 o) g2 N1 H, a* V( ? S 　　　　　　表3　正弦尺主要技术参数

（mm）

  " w. M3 K8 J. {2 |) g ) q) V# ^2 m8 `9 k* m; W, l3 Q9 g4 `( v. p; q. M! |; [2 U& b% f, l' x/ e: j' W5 R% D3 `5 c. J$ W; d6 o3 o; z; \7 i* d9 X' o, G3 G J: d0 ?5 I6 K$ U, A' `3 w! B6 I3 e, r. S: Q" Q4 `0 K# o: p5 r: b. P* Z' p7 n7 J; r0 y% \8 S- ^; N7 ~% p

两圆柱中 心距L	两圆柱中心 距偏差ΔL	两圆柱直 径允差	工作面 平面度	工作面与两圆柱素 线公切面平行度
100	±0．002	0．0015	0．002	0．002
200	±0．003	0．002	0．002	0．003

* o+ c) O( N& d) X4 ?

正弦尺测角公式为 & M# S1 @4 Q" t( A6 P. M sinα＝h／L . ~" ^! e9 [+ {- J2 g4 g( i 则 α＝arc sin（h／L）     （5） 5 ?9 Y/ s1 M! O; b9 x; D 对式（5）微分，得

即　Δα＝Δh／（Lcosα）－ΔLtgα／L     （6）

4 Y( H8 D- s" R) o4 A- Z

Δh和ΔL可在表3中查知。由于Δh、ΔL的值有一变化范围且相互独立，故通常取式（6）中两项误差的方和根作为Δα，即

# l! y$ O. q! |1 c) g2 k. `$ Z

式（7）中的第一项是由Δh引起的角度误差，第二项是由ΔL引起的角度误差。令Δα_h＝Δh／（Lcosα），Δα_L＝ΔLtgα／L，则式（7）可改写为

　　（1）Δα_L的计算
　　按Δα_L＝（ΔLtgα）／L（ΔL可由表3查知）计算可得
　　L＝100mm正弦尺：Δα_L200＝0．002×tgα×2×10⁵／100＝4tgα（″）
　　L＝200mm正弦尺：Δα_L100＝0．003×tgα×2×10⁵／200＝3tgα（″）
　　（2）Δα_h的计算
　　将表3中两圆柱直径允差、工作面平面度误差及正弦尺工作面与两圆柱素线公切面平行度误差看作相互独立的随机变量，按方和根合成为Δh，由表3数据可得
　　L＝100mm正弦尺：＝0．0032mm
　　L＝200mm正弦尺：＝0．0041mm
　　按Δα_h＝Δh／（Lcosα）计算可得
　　L＝100mm正弦尺： Δα_h（100）＝0．0032／（100cosα）×2×10⁵＝6．4／cosα（″）
　　L＝200mm正弦尺： Δα_h（200）＝0．0041／（200cosα）×2×10⁵＝4．1／cosα（″）
　　将Δα_L和Δα_h按式（8）合成为正弦尺制造误差引起的角度误差Δα，即
　　L＝100mm正弦尺：

      （9） * M& W/ T% c' M( k! H

　　L＝200mm正弦尺：

7 s1 } G) ~( r6 t2 H

      （10）

! }0 N" u L$ b* k1 p3 |3 \8 V, F0 X

按式（9）、式（10）算得的因正弦尺制造误差引起的正弦尺垫成不同角度α时的误差值Δα列于表4。

9 a# t' D2 b- V* G( D) g# ]- `

% G7 {& G& F; b! G/ v+ |

* O5 p7 O9 h' B1 y# h/ s K% ^- | 表4　正弦尺垫成不同角度时的误差值Δα        （″）

) z# z9 V6 ~ y8 o7 y 3 t: |1 b U. X. N3 J$ w6 u# f4 }4 ?- l' s+ n' | H: `! T) L! _3 M7 e$ q2 X" j8 C* T$ `. i/ z. r2 R( G4 _2 _4 O& H% k2 F- C7 p( H1 Z: k; c' f& N8 W, b1 k* u( e. w2 I' ?5 m4 z0 K; y6 d; w3 J, q. k8 N& Z( C, O. \7 ~9 b0 ^6 |5 g4 c1 N+ a0 l8 K9 e m$ {. D# Y+ I6 u; V% e% d5 ~4 M+ @4 E' b, i( M& V4 P! g- R# P; H+ a4 t0 x7 P- {; D0 P) b% R6 P5 W* w' e8 m+ k' P* i$ F/ ?1 W9 t' R ^0 |. k0 D" b2 S, `, R$ a( \8 h- h, i7 |8 Q1 R1 r. B/ e' r' D$ D, ?7 w" v; h1 E6 D. b6 p

L （mm）	1∶50 1°08′45″	1∶20 2°51′51″	1∶16 3°34′48″	1∶10 5°43′29″	1∶6 9°31′38″	1∶5 11°25′16″	1∶4 14°15′	1∶3 18°55′28″	30°	45°	60°
100	6．4	6．41	6．42	6．44	6．52	6．58	6．68	6．90	7．74	9．89	14．55
200	4．1	4．11	4．11	4．13	4．19	4．23	4．30	4．45	5．04	6．53	9．71

, o" s, q# m. b; L1 A* T

由式（7）和表4数据可知，Δα不仅与Δh、ΔL有关，也与所用正弦尺中心距L及被测角度α的大小有关。所测角度α越大，Δα也越大；所用正弦尺中心距L大，则Δα小。因此，在测量中应尽量选用中心距L较大的正弦尺。此外还可看出，Δα值随被测角度α的增大而增大，但在α＜30°时，Δα 增大相当缓慢，而当α＞30°尤其当α＞45°以后，Δα则显著增大。因此，一般不应使用正弦尺测量大于45°的角度。

6 M$ G5 N7 i+ D, n) H