球头铣刀椭圆形刃口曲线几何模型的研究

HEATS

1 引言

随着航空航天工业和汽车工业的发展，球头铣刀的应用日益广泛。由于目前采用的球头铣刀螺旋形刃线设计理论存在缺陷，因此刀体和刀头部分只能采用不同的刃形成形。为了解决球头铣刀螺旋形刃设计中存在的问题，通常引入已研究成熟的平面形刃成形原理和几何模型，即将刃口曲线设计为平面形刃。尽管平面形刃的成形和制造比较简单，但采用该刃形的球头铣刀在切削刃连接处过渡不够光滑，在使用过程中切削欠平稳，容易产生刀刃烧伤；此外，采用该刃形的球头铣刀重磨后尺寸要发生变化，难以保证加工精度。为此，需要深入研究球头铣刀螺旋形刃线的成形原理，建立新的球头铣刀刃口曲线几何模型。

2 球头铣刀螺旋形刃口曲线设计中的问题

目前国内外对铣刀螺旋形刃线有两种不同定义：①刃线与回转体刀具表面经线成定角；②刃线切线与回转体刀具轴线成定角。下面分别根据这两种定义讨论球头螺旋铣刀刃口曲线的设计问题。若取球心为原点，球面方程为 6 i* _0 O! E- B; W! m/ e( W* w# c% u# n& [; Y, L$ v$ O3 h! ^2 T# S A

r=R{sinØ, cosØcosq, cosØsinq}

(1)

3 h, l* D d1 Y) B G% D* d- ~

轴线X 的方向矢量为｛1, 0, 0｝，则刃口曲线的切线为 + V7 c1 f) t b4 W) h2 B+ q- c" @, Z. C+ v" |. G, m9 |- e6 E, i' m6 V; u# A" y: H# z. t5 |6 U9 Y2 W+ g

dr=rØdØ+r0d0

(2)

; j! A9 H: j" X

球面的经线满足dq= 0，故经线上任一点的切线矢量为 ) q7 s) @: R+ S* P3 u( a: X2 x* s3 N" o4 G- A* N

dr=rØdØ

(3)

5 |- B; i! @* V9 k/ \5 u) i0 H3 q

1. 假设刃线与刀具表面经线成b角，根据铣刀螺旋形刃线的定义①(刃口曲线与回转体刀具表面经线成定角)，其交角公式为 " f& {) h* o4 n# ?* ^6 e9 X0 U0 c- e( _/ s# M6 X* c" v) l' m' _7 j* M

   (4)

   由式(4)推导可得 7 H4 u: C2 i( r% g" @+ t" |" `; I- G) N: H, H: ^5 o3 M& Y* e$ m) p& Z8 X3 F7 K: p

   (5)

   虽然根据定义①可按式(5)进行刃口曲线设计，但在数控加工时往往不能实现一次成形(除非前刀面与其它部分的沟槽曲面分两道工序加工)。若采用砂轮一次成形，则在砂轮接近球顶时会发生过切。由于在约1 / 7 球面半径的球顶区域存在问题，因此必须用别的刃形来替代这段螺旋刃口曲线。
2. 根据铣刀螺旋形刃线的定义②(刃线切线与回转体刀具轴线成定角)可得到如下交角公式： * M2 i$ i6 B j( r) w. u. K# S) ~' b/ m

   (6)

   0 s, C. K% i+ W
   由式(6)推导可得 : Z/ L( E3 y% r& ^0 B6 h! [ ]- V3 G) `$ M+ b9 g8 S6 k6 e. C1 @" N. w

   (7)

   ! m3 D0 _2 C( H/ z* _, H1 a
   显然，当Ø≥b 时，式(7)无意义，即在Ø∈[b，p/2]时，不存在与刀具轴线成b 角的球面曲线。因此，根据定义②仍无法获得铣刀球顶附近相应区域(Ø∈[b，p/2])内的相应刃线，该区域的刃线仍需用别的刃形来替代。 8 e" t/ U8 N* q- k8 m
   由以上分析可见，铣刀螺旋形刃线定义①、②均有其不足之处。为此，我们提出一种铣刀螺旋形刃线设计新方法———椭圆形刃口曲线成形原理，并建立了新的几何模型。

图1 球头铣刀椭圆形刃口曲线

2 G! j! @9 k) h5 [$ N8 u

3 球头铣刀椭圆形刃口曲线的成形原理与几何模型

: M& D) {+ g# r$ a3 e

球头铣刀椭圆形刃口曲线是指用椭圆柱体与刀具回转面相交得到的交线作为刃口曲线。对于轮廓母线与轴线有交点的球头铣刀，该椭圆柱面必须通过轴线。如图1 所示，以在YOZ 坐标面上的椭圆作为基本椭圆形成椭圆柱，该椭圆柱与球头铣刀球面的交线AT 段弧就是球头段的刀刃曲线。 0 A, n7 U6 t. P- D

圆锥体上的螺旋曲线方程为 8 i8 ^% {7 n, k1 T9 s9 z- Q: T5 {1 M% t/ c2 }

r1={x，(Rseca- xtana)cosq1，(Rseca- xtana)sinq1}

(8)

$ ?) t, t# C4 p( L q; ~4 m5 v

圆锥体上的螺旋曲线与经线dq1 = 0 成螺旋角的刃口曲线满足微分方程 7 h, y2 f! v6 X6 E$ n& o5 {: }) j# e4 y

(9)

经推导可得 : {2 ` B* l7 ]. ]6 S8 \% S- `- ~- k" J/ @1 p8 z1 v# y+ z: c; i; i0 W* G7 k1 m2 Y& Y* I% @: W) k7 Z: S7 Q

q1=-tanbcscaln(R-xsina+q0)

(10)

将式(10)代入式(8)，得到圆锥体螺旋线方程为 ) I# j) Y& P% d! R5 L( V* k/ Z' D, F$ c# l% `

(11)

* ?% q9 ?; j6 v- u8 m7 h" ?

圆锥体螺旋线上任一点的切线矢量为

(12)

铣刀球头的球面方程为 5 L& m% o: V- i* o1 R( p9 j& M" i ^( a Q; v) X9 [0 s7 Q/ }1 s0 S" l9 w+ i B/ S( ?# P

r2=RsinØ2，cosØ2cosq2，cosØ2sinq2｝

(13)

铣刀球头上任意一点的切线矢量为 T$ n9 |, O/ e& ?% j# C# Y; V3 L. D6 k* q' V. G7 d

(14)

将式(14)中的x分量转化为1，则有 8 o! \( q% l0 c3 F% ^* K+ f1 g) B' d- Q4 Z6 a9 Y e1 e( Q; u, g2 K$ ^0 g

r2' ={1，-tanØ2cosq2-sinq2，-tanØ2sinq2+cosq2}={1，t2y，t2z}

(15)

椭圆柱的柱面方程为 0 D+ ]- b4 W$ R3 V' {% C2 [' G/ e$ }* e9 z$ J" L! J% b) `/ l8 G. N2 }1 ~8 o

r3={x，a+acosq3，bsinq3}

(16)

$ v! u5 `: f3 w/ S. K4 ~

其椭圆柱上任一点的切线矢量为 + K7 n) r( q/ a4 n. {) l# I1 ]# o) B* @3 ~- h) w- j1 T$ H3 x) J0 x7 h( u# v x

r3'={1，-asinq3，bcosq3}={1，t3y，t3z}

(17)

则铣刀球头与椭圆柱的交线即铣刀球头刃口曲线方程为 6 Y& U3 K. @' F$ g4 G# G5 |" X; y3 a8 Y# L3 E" W5 L' M0 f' G+ e' A$ X( @! ?

(18)

消去式(18)中的q₃得 % W8 t% e+ v% C# R1 x; M% ~( L* q2 y i: w" O; a: M$ R7 i

(19)

* m$ T* M; P+ |5 }- _

由于图1中圆锥体与球面交点A处存在Ø_2(A)=a，根据圆锥体与球面交点A处的坐标值相等及切线矢量成比例，可得下列方程组： 3 m: X2 a4 y4 W* a4 R# l4 b' ~- L4 C4 f! z) }1 V8 H" E$ @6 M5 P; d1 a. f

(20)

# H6 M( S" t4 s, Q/ p6 X

由上述方程组可解出a、b、q_1(A)、q_2(A)、q_3(A)、q₀。将解出的a、b代入式(18)即可得到球头铣刀椭圆形刃口曲线的方程。 ! q; K8 o: Q" U1 O

4 结语

9 k4 Q9 Z2 P- ]/ x7 Y( z* e

通过分析球头铣刀设计制造中存在的问题，本文提出了球头铣刀椭圆形刃口曲线的成形原理并建立了新曲线的几何模型。新模型采用椭圆柱与铣刀球头表面相交所形成的椭圆形刃口曲线，不仅可使铣刀刀体与刀头之间连接光滑，排屑顺畅，而且可保证刃形重磨后尺寸不变，具有很高的重磨精度，为球头铣刀螺旋形刃的设计制造提供了新的有效途径。