钻头磨尖问题几何模型研究

HEATS

0 引言

钻头制造一般分两道工序，一是加工钻沟，二是磨尖。钻尖上除主切削刃与沟部工艺相关外，其它的刃口后角、横刃角和后刀面的降量均由磨尖工艺决定。由于横刃角为后刀面的交线，因而磨尖参数的理想值主要依赖于后刀面的造型。 % K9 e. O6 X3 i1 Y% y! O" }. o$ M

1 斜等距曲面的概念及相关公式

3 H; e) ^8 `1 Y8 a5 K$ |8 w( \+ _: O: V3 E5 r* A ~

图1

, N' T' X v+ n# d

定义 已知直纹面S，在到直纹面S上与所有直母线均相交的定曲线距离为定值h的曲线上每一点p，取直纹面的水平线pp，使之等于定长r，r随h满足线性关系变化，则称p形成的曲面S为直纹面S的斜等距曲面。如图1。

相关公式的推导：

设直纹面S上定曲线的方程为 # I$ X% P2 i3 s% j

则直纹面S可表示为 ; f3 U& o0 W% ]+ C6 [! T4 }8 i8 X4 E* b3 m/ [) C j# p. O( K2 Z6 [! L+ K9 U Z1 H) J8 ]% D# ~3 j

(1)

据定义，法向距离r满足 ) F) v% V' L7 t! e a: g' W0 g9 J8 X7 Q) O3 J4 m" x, y, [4 Q; ]/ \, r1 V$ P n+ _( h$ K, O! g4 B0 z5 @5 R7 T

(2)

上式中t(u)为直母线方向单位向量，tga为线性关系的对应值。而曲面(1)上任一点法线方向单位向量为 8 p# l: G# e5 h

(3)

于是斜等距曲面S的方程为 7 g @& [$ j" k8 B9 {0 K: S2 k$ U7 _' H1 J

(4)

显然，当直纹面(1)为可展曲面时，即为锥面、柱面、切线面时，斜等距曲面(4)为直纹面。

2 几何模型的建立

/ v# ?/ a) m( h& G2 z/ X" y- f

图2

为获得较为理想的后刀面，以钻头对称轴为z轴，以钻头横刃中点为原点，以中剖面为yoz平面建立右手直角坐标系，如图2，并假定钻头直径为2R₀，钻头中心厚为2k,刃倾角为 2f₀ ，横刃倾角为g₀ * b; b- r; J G

设钻头后刀面基线l₀的方程为

则显然有 即t₀为平面曲线。

考虑到磨尖时的实际加工情况，我们在主刀刃，长线上取一点O′,使OO′=e，如图3。则O′的坐标为 其中
! b) o4 E$ ~8 j" e O! s# ^

则由O′与基线l₀所构成的锥面，为所要求的钻尖后刀面。 ) U& p+ v- @5 B0 r

令 ; W0 y( x; C# l8 x$ \, n& C3 `8 w5 Q2 h0 I* t q; Q& C4 O O' g* x- F8 S

图3

: x0 G- E% F- b/ H- A! X6 r

于是得到后刀面的向量方程为 , I( X! ~; ]4 z0 ] ) ]: k7 F* @. M- ~( F

则其斜等距曲面的向量方程为 " B* O% A$ }# v% m) B' V1 Z其中 + v' x$ L% e: K8 @ 2 ^- f+ V- M/ B( v

如果我们用锥面砂轮来磨制后刀面，砂轮轴线绕O′点回转，则砂轮轴线形成的直纹面应力后刀面t₁(t,h)的斜等距曲面t₂(t,h)，由斜等距曲面的性质可知，t₂(t,h)恰好为直纹面，因此当砂轮轴线在直纹面t₂(t,h)上运动时，就可以得到理想的后刀面t₁(t,h) 。

3 模型中基线l₀的确定

2 V6 N' R3 a% H$ V! f$ w S

我们用三次多项式曲线来描述钻尖后刀面基线l₀，在向量方程t₀(t)中令 " U! M8 w. d: }" e+ I$ [& m5 q6 _4 w. T

(5)

设钻头后刀面某一点处的后角为a，即l₀上某一点的切线与经过该点圆的切线的夹角为a，如图3。

由于OC⊥A₀C ，所以有 & G! y, ^" R. L0 n0 L% T: _

即 % G1 g3 w# N; x4 x4 O* Q, \: z4 u/ f0 q2 \7 \. f. W. Z; G: k9 _1 {

(6)

而 # V$ V6 B2 ~2 v. ~

(7)

令 4 d; M& F1 b0 p& ^. c/ }" [

t=0 时，对应曲线l₀ 上A0 点a=a₀, q=q₀

t=½时，对应曲线l₀上的点a=a₁，q=q₀+(180°-q₀)/2 ) h* `: g. r+ f2 i4 v# r

t=1时，对应曲线 l₀上B点 a=a₂, q=q₂=180° ' P/ i1 X0 g1 u" [- k

若令后刀面的降量｜DB｜=R-R₂ ，则R₂为｜OB｜的长，将上述各值代入方程(6)、(7)式可求解方程中的未知系数。 0 x1 b9 @- N+ S2 \

4 计算实例

我们用半顶角为15°，小端直径为20mm的锥面砂轮来磨制直径为20mm、钻头中心厚3mm、刃倾角2f=118°、横刃倾角为 45°的钻尖，要求后刀面初始角为8°，逐渐增大到30°时，算得砂轮轴运动曲面和实得后刀面见下表1。 ) v* I8 J; a5 }# `) T7 v) X! F) N. N- f* }9 E1 e v+ H0 R. B) ~1 v: k1 [# g( P# D3 v: C8 M$ q1 |# T: z2 V8 @* d& y$ u) v+ c: k5 ~% V+ w7 G% c& D- J; i# P2 f2 t: H5 ?9 u5 o; q% X6 @- D% ]9 t4 Z2 `- G% u5 A0 _4 o1 w& x2 ^- [ `1 a2 d9 m% o" H$ q# ^ _1 w1 T1 ^% n# J! d# W4 w* e2 Q' ^! s* ~5 X" g; Q1 Z, E/ e/ q% y! p, j. h4 D; A' a( R- U$ I' {$ o/ I, g0 i8 k5 \& f6 t- C& z+ z* H8 N- |5 Q! N( G6 e" e+ R' O: E T- }2 q3 y" [- A5 ~2 R4 n" W( ^6 ]) f/ v }' i) O5 G' f; x" y6 a5 H, ^- L9 i; _3 \& `% q7 K8 n# t8 M4 O% d; V" `* i+ u9 f K! h# E7 Q% w" W: t/ X f, N G' I9 p. {( Q7 H: P0 \2 C+ ~' U( P/ H( x/ c! X' o8 R8 V: A0 Z) f& H6 u9 |0 b4 U/ ]+ x) r7 W$ } L% }" F. ]) O* d, a5 C: F# x; O% n) t- Z$ i4 W# l6 I# F& {% Q9 k% s- q1 H7 @: I3 X1 ?! \! X4 m; O- I9 k8 j+ Y5 m! E i" S8 F* v- D% R: B" w) A! E i( s# B+ s% v. `2 |" t( h) ?; T* ] l9 M! K& l* u2 l$ l% E. u( G. d& l. ~# d4 M# p+ k& f! g# ^( [. A& g! k, z, N, x& a( I, K' O$ R- _+ F8 o( A3 b1 S# U1 A6 E4 Y9 y- }' j. C& ?8 j; b" B8 s4 V% k' @% N( H7 O b, P. e; S9 K9 C9 r6 G7 m- U7 F" b3 d# T% l* W* o0 c1 m; S1 o1 @9 X9 K1 V" v# Z5 h0 ?" a( @3 W4 ^3 T. M' Y, k8 b) @ P/ S3 |$ P; K7 F/ G' K9 x9 h6 n! N2 @& s! ]* B/ B+ B# O- h* r _- h8 _5 U+ G" v" S0 o; K+ e8 `. F- M7 r3 a' p) s1 z3 {" z/ ^* [2 U4 B* b( E) r% E) K/ R! E- T; x3 p; Z1 _/ P0 i8 p& e% D6 _' t) \9 E; ? o8 c8 Z) I3 Y. c8 v) t. {* y9 s! Z1 R; C: r9 @, R) x. d3 F! [. X2 E! y) o1 p7 s$ d. J; O& s" s

表 1 钻尖后刀面 Dh=0.4砂轮轴运动曲面

t	X	y	z	X	y	z
0.100000	0.534756	9.809271	3.924000	0.763944	14.837284	-4.716981
	0.603335	9.457872	3.727166	0.942209	14.603413	-4.806366
	0.671914	9.126473	3.530332	0.120622	14.369562	-4.895735
0.200000	-1.580552	9.754528	3.924000	-2.108333	14.610213	-4.802040
	-10457113	9.425280	3.733321	-1.875337	14.388882	-4.885273
	-10333674	9.096032	3.52642	-1.642207	14.167592	-4.968489
0.300000	-3.338388	9.394637	3.924000	-4.779435	13.885962	-4.893674
	-3.171519	9.083460	3.73720	-4.503827	13.680721	-4.972644
	-3.004649	8.770284	3.551440	-4.228131	13.477522	-5.051607
0.400000	-4.731216	8.749464	3.924000	-7.235865	23.621814	-4.949085
	-4.529724	8.457240	3.739593	-6.926962	12.436927	-5.026309
	-4.32832	8.165016	3.55186	-6.926962	12.436927	-5.026309
0.500000	-5.751500	7.838875	3.924000	-9.421327	10.782169	-4.900363
	-5.522062	7.568788	3.738497	-9.086045	10.618028	-4.978542
	-5.292624	7.298700	30552995	-8.750838	-10.453816	-5.056713

: X o5 m# S' G( b5 b! x

5 结论

* ~$ E* u/ ~3 R& L

本文详细地介绍了钻头磨尖的几何模型的建立过程，和以往的磨制方法不同的是，我们先建立理想的后刀面，然后再寻求砂轮的运动。计算结果表明，本模型实用、可靠，此项研究曾结合工厂(因大批退货)实践而进行，取得了很好的效益。