钻头磨尖问题几何模型研究

HEATS

0 引言

- m( M! ~3 |' Z4 A( f x, b

钻头制造一般分两道工序，一是加工钻沟，二是磨尖。钻尖上除主切削刃与沟部工艺相关外，其它的刃口后角、横刃角和后刀面的降量均由磨尖工艺决定。由于横刃角为后刀面的交线，因而磨尖参数的理想值主要依赖于后刀面的造型。

1 斜等距曲面的概念及相关公式

* f9 l' v# V* C; E9 G, }% V

图1

定义 已知直纹面S，在到直纹面S上与所有直母线均相交的定曲线距离为定值h的曲线上每一点p，取直纹面的水平线pp，使之等于定长r，r随h满足线性关系变化，则称p形成的曲面S为直纹面S的斜等距曲面。如图1。

相关公式的推导：

设直纹面S上定曲线的方程为 % h4 E! f; n5 A& t. D! M* g2 I

则直纹面S可表示为 & n# C" C$ ]& v8 a

(1)

据定义，法向距离r满足 , m" y k( K8 m: w+ [: z k3 U5 @6 q2 {& y- \9 ]( p {, x8 B( N3 B( G! g4 T/ I3 y0 }2 [" ]

(2)

上式中t(u)为直母线方向单位向量，tga为线性关系的对应值。而曲面(1)上任一点法线方向单位向量为 7 U* T; c, h2 D1 m0 }' ?9 v( D+ m+ I: b8 u; a: o/ p% y! \1 y! o$ m7 ~( R1 o/ ?$ s0 q. j: T; ]- s# k8 d" U2 _0 }' N# V$ w9 j5 b0 ]. ?2 \5 p

(3)

; d' B3 M* l7 i7 E R

于是斜等距曲面S的方程为 6 n: K. k3 q W1 I/ A) Q, }& U" b3 `8 v) g% J! f

(4)

显然，当直纹面(1)为可展曲面时，即为锥面、柱面、切线面时，斜等距曲面(4)为直纹面。

2 几何模型的建立

* \7 h& v3 B* x; U" v# U6 z" u, }# W. X. V' s6 k& ~1 Y

图2

( {/ C3 E' e7 R, Y

为获得较为理想的后刀面，以钻头对称轴为z轴，以钻头横刃中点为原点，以中剖面为yoz平面建立右手直角坐标系，如图2，并假定钻头直径为2R₀，钻头中心厚为2k,刃倾角为 2f₀ ，横刃倾角为g₀

设钻头后刀面基线l₀的方程为 & h' K1 X( {6 B5 V7 u, C ' b2 c; O) e, o

则显然有 4 N, ?( D0 W% q4 g2 V5 s N2 q即t₀为平面曲线。 3 x! @6 N% U5 n! h4 _; i

考虑到磨尖时的实际加工情况，我们在主刀刃，长线上取一点O′,使OO′=e，如图3。则O′的坐标为 其中 8 l7 W& |- _) M

则由O′与基线l₀所构成的锥面，为所要求的钻尖后刀面。 5 i, C# `1 H* ?: X

令 3 e; H7 n. B' ~9 x& q5 P ( A7 d$ X% i' N0 z* _, X& l

图3

于是得到后刀面的向量方程为 " O$ c! w- y! k1 G. W8 S 0 }2 O: w6 K- D0 A

则其斜等距曲面的向量方程为 其中

如果我们用锥面砂轮来磨制后刀面，砂轮轴线绕O′点回转，则砂轮轴线形成的直纹面应力后刀面t₁(t,h)的斜等距曲面t₂(t,h)，由斜等距曲面的性质可知，t₂(t,h)恰好为直纹面，因此当砂轮轴线在直纹面t₂(t,h)上运动时，就可以得到理想的后刀面t₁(t,h) 。

3 模型中基线l₀的确定

我们用三次多项式曲线来描述钻尖后刀面基线l₀，在向量方程t₀(t)中令 7 @" P7 m9 o# i& @) u4 _8 Q, I2 N9 A8 ?* ]! q1 r# ~ s1 _* t- T! w

(5)

4 y$ q6 w$ s- B7 D, h( L

设钻头后刀面某一点处的后角为a，即l₀上某一点的切线与经过该点圆的切线的夹角为a，如图3。 4 b& G/ Y/ c! s7 }4 ]! U

由于OC⊥A₀C ，所以有

即 5 f+ h) _6 o t+ } U1 r3 D: b+ j7 Y6 n* V6 Q* g' N6 K+ F" P8 ~, B3 y P

(6)

而 3 L5 ?% A8 B' g) Y7 k0 H9 H& D% u2 Z% w' C* q+ @1 X# H4 r# U6 E* k' c4 Z/ v; @7 ^- S, H8 ^# g" t. c& f

(7)

令 # D! x* A8 O1 M

t=0 时，对应曲线l₀ 上A0 点a=a₀, q=q₀

t=½时，对应曲线l₀上的点a=a₁，q=q₀+(180°-q₀)/2 / D* H9 {# _+ V5 s! w" s' }4 ~. l

t=1时，对应曲线 l₀上B点 a=a₂, q=q₂=180°

若令后刀面的降量｜DB｜=R-R₂ ，则R₂为｜OB｜的长，将上述各值代入方程(6)、(7)式可求解方程中的未知系数。

4 计算实例

我们用半顶角为15°，小端直径为20mm的锥面砂轮来磨制直径为20mm、钻头中心厚3mm、刃倾角2f=118°、横刃倾角为 45°的钻尖，要求后刀面初始角为8°，逐渐增大到30°时，算得砂轮轴运动曲面和实得后刀面见下表1。 / P7 H1 k1 J4 u; g# Q' o% G' K$ t% D- s; P5 E( G5 L, _* B' E5 K- I; v, h! N. m% m/ u. C& R; e) ^. {# a2 W( e$ U& ?0 l8 a, n) p# \! z: ~- n" q5 `4 }% N% j4 }! {1 J2 G; E( C2 E# S' _, }' B( K' [/ \& x& j0 C) i) [1 _, [' m1 {2 o* w' C% b: \- R$ N' \' p9 P; `: G) S$ A4 K8 { z* H* e+ k5 H! T( [4 i: ?5 K6 @+ y! ?, a E8 T x+ h! G! t" j0 q+ w5 i9 q) n7 S$ A# v- |' i- @& e5 N) a( J/ C6 f5 x! m, T, b9 o" Q% g+ R* h, E8 v9 ^% D+ P3 Z; ~0 [" _3 b0 T% A1 ~% f2 c8 Q: l( k9 N8 E4 S# y E2 j9 R8 e+ R4 o5 `/ L: w J: V) o& ^/ x5 ^ |# Z- |3 Z- D1 o( k; R% H4 k! G/ V; l1 S+ e v# Y* O* q' Q0 N. Y/ h, u* B2 X: f1 {! \ H( e$ t& E5 |' p7 A0 L# C3 g' \* i2 m8 `9 j! a- u: N* [( R4 b4 |$ c# E& W W( x. @' L% ^+ {$ Y+ Q. u$ S, y& E( J( ~: z9 f7 l9 q( l1 K; v: O5 b# `7 j. k5 U! m, [: T p. k: S; u7 M& y3 ~+ l3 O0 t) x: Q( A& _" ^% ^7 Q4 z' z! `& m L+ H ~8 W! M* A, o$ S) }: I: z7 f* D0 v q* I* i1 Z( z( U* [3 P) M9 S. S; `3 T/ W* R1 m) Q3 H) ]6 K1 ~1 X: C) s3 E+ s h* E" z: l, Z$ ~( j/ B6 ^) @* L: o2 L+ a8 b# ~. `9 ~5 I6 q1 \* b# y5 ^7 a% K0 O1 V4 d( H4 `" t' w1 P& v% k U ^$ {. I3 m$ f8 S5 {* [: Q/ _4 M7 v2 D! a. l$ d, V9 I3 u8 x h7 W' b; c5 b0 B4 U0 l" U B" B4 {! t% y$ Z- W5 ~. S# z# T( u$ j) B1 J& j8 W( s$ F0 a9 u) }8 h' |7 r5 E1 e& X. d6 Z( G; l- j; d3 F7 \4 t! [* N' A8 Q+ I' y8 G y7 {; u5 S, A! P0 H f! M+ p n2 Z% X3 O- O. }% t! A* k2 }, d/ \, A8 w. u/ R% Y4 ~, m. ]5 w! p) l! M9 ?: g% e, r3 J4 Q; ?$ q: M: `) c0 E/ c5 n$ o: a% |

表 1 钻尖后刀面 Dh=0.4砂轮轴运动曲面

t	X	y	z	X	y	z
0.100000	0.534756	9.809271	3.924000	0.763944	14.837284	-4.716981
	0.603335	9.457872	3.727166	0.942209	14.603413	-4.806366
	0.671914	9.126473	3.530332	0.120622	14.369562	-4.895735
0.200000	-1.580552	9.754528	3.924000	-2.108333	14.610213	-4.802040
	-10457113	9.425280	3.733321	-1.875337	14.388882	-4.885273
	-10333674	9.096032	3.52642	-1.642207	14.167592	-4.968489
0.300000	-3.338388	9.394637	3.924000	-4.779435	13.885962	-4.893674
	-3.171519	9.083460	3.73720	-4.503827	13.680721	-4.972644
	-3.004649	8.770284	3.551440	-4.228131	13.477522	-5.051607
0.400000	-4.731216	8.749464	3.924000	-7.235865	23.621814	-4.949085
	-4.529724	8.457240	3.739593	-6.926962	12.436927	-5.026309
	-4.32832	8.165016	3.55186	-6.926962	12.436927	-5.026309
0.500000	-5.751500	7.838875	3.924000	-9.421327	10.782169	-4.900363
	-5.522062	7.568788	3.738497	-9.086045	10.618028	-4.978542
	-5.292624	7.298700	30552995	-8.750838	-10.453816	-5.056713

r8 q6 M2 \) s6 D) e

5 结论

本文详细地介绍了钻头磨尖的几何模型的建立过程，和以往的磨制方法不同的是，我们先建立理想的后刀面，然后再寻求砂轮的运动。计算结果表明，本模型实用、可靠，此项研究曾结合工厂(因大批退货)实践而进行，取得了很好的效益。

1 q0 O0 g- X/ j$ y