钻头磨尖问题几何模型研究

HEATS

0 引言

4 d0 n4 s7 q0 N T2 Z

钻头制造一般分两道工序，一是加工钻沟，二是磨尖。钻尖上除主切削刃与沟部工艺相关外，其它的刃口后角、横刃角和后刀面的降量均由磨尖工艺决定。由于横刃角为后刀面的交线，因而磨尖参数的理想值主要依赖于后刀面的造型。

1 斜等距曲面的概念及相关公式

8 {. l& O" p! g/ E, E0 m! V& _ s4 y: }" R( u6 [ H- |

图1

# X. o- R; D0 d

定义 已知直纹面S，在到直纹面S上与所有直母线均相交的定曲线距离为定值h的曲线上每一点p，取直纹面的水平线pp，使之等于定长r，r随h满足线性关系变化，则称p形成的曲面S为直纹面S的斜等距曲面。如图1。 5 c2 q* B+ K1 O9 R2 `+ @

相关公式的推导：

设直纹面S上定曲线的方程为 ( c7 Q% F% c8 m, X- ]) m

则直纹面S可表示为 - q+ x; f: H: ~5 E6 X9 `! X. @7 x; G, g3 ?, [% k2 _+ I# W8 Q6 q [6 \ |/ S

(1)

据定义，法向距离r满足 2 v5 V- E# C) h* x2 T9 T" t/ t, K& x7 R% q$ J0 V5 k4 d

(2)

上式中t(u)为直母线方向单位向量，tga为线性关系的对应值。而曲面(1)上任一点法线方向单位向量为 6 p2 B. p7 S. f# ~& B% g; m; v9 x( A& G; `" B I0 @4 S/ L

(3)

于是斜等距曲面S的方程为 3 Y F6 t% ~, x/ [7 R: ~* l1 {5 L. L" @! n( s8 |

(4)

显然，当直纹面(1)为可展曲面时，即为锥面、柱面、切线面时，斜等距曲面(4)为直纹面。 , W" V$ z1 x7 {

2 几何模型的建立

3 F0 p; J, u: l1 r3 F V2 @& y9 k% ?( N8 w; G0 _. p" V% G

图2

为获得较为理想的后刀面，以钻头对称轴为z轴，以钻头横刃中点为原点，以中剖面为yoz平面建立右手直角坐标系，如图2，并假定钻头直径为2R₀，钻头中心厚为2k,刃倾角为 2f₀ ，横刃倾角为g₀ 9 C, V. T' Y% C

设钻头后刀面基线l₀的方程为 8 ?4 O" U4 ^* G2 A

则显然有 6 m6 O5 g. O2 |5 o* A0 }即t₀为平面曲线。

考虑到磨尖时的实际加工情况，我们在主刀刃，长线上取一点O′,使OO′=e，如图3。则O′的坐标为 其中

则由O′与基线l₀所构成的锥面，为所要求的钻尖后刀面。 0 Z# m" f! p' `

令 ; k4 S9 n1 }% N/ b7 s+ m; c ( |2 ^* A; t9 A# g' `% O, o% }; a5 }# M2 M3 B7 j, }

图3

4 ~. z$ w6 N" C3 w9 h

于是得到后刀面的向量方程为 + |3 B/ q7 r$ n" o

则其斜等距曲面的向量方程为 其中 & y! F0 ?/ o" s, `' X/ s # z4 I5 x2 r" F4 ^0 c u5 \+ C

如果我们用锥面砂轮来磨制后刀面，砂轮轴线绕O′点回转，则砂轮轴线形成的直纹面应力后刀面t₁(t,h)的斜等距曲面t₂(t,h)，由斜等距曲面的性质可知，t₂(t,h)恰好为直纹面，因此当砂轮轴线在直纹面t₂(t,h)上运动时，就可以得到理想的后刀面t₁(t,h) 。 , M i5 B% A# m3 x$ v. d( h2 V

3 模型中基线l₀的确定

我们用三次多项式曲线来描述钻尖后刀面基线l₀，在向量方程t₀(t)中令 : o; T9 }% j& u/ O5 ^# v2 x: u. B

(5)

设钻头后刀面某一点处的后角为a，即l₀上某一点的切线与经过该点圆的切线的夹角为a，如图3。 ' K1 o. _; K2 }9 }' k% m9 A

由于OC⊥A₀C ，所以有 , @( |8 E6 V4 |2 {0 d* o9 D- Q

即 % z8 v) ^, P0 O) O: E! V7 M9 I, C, g& J0 }4 r) S7 z( Q& Q7 e' [, s# N1 p# B6 X7 b4 _1 M* P: A, N, b2 ]/ _6 X6 I$ y3 ^1 k7 c

(6)

而 5 }2 M+ G5 d) L/ l! g# r8 u4 X& g. } i$ @# @4 X& n: s) r) O

(7)

令

t=0 时，对应曲线l₀ 上A0 点a=a₀, q=q₀ & V" Z8 r& E) m% B! l% `

t=½时，对应曲线l₀上的点a=a₁，q=q₀+(180°-q₀)/2 4 _: h. {! Y# U% ], p

t=1时，对应曲线 l₀上B点 a=a₂, q=q₂=180°

若令后刀面的降量｜DB｜=R-R₂ ，则R₂为｜OB｜的长，将上述各值代入方程(6)、(7)式可求解方程中的未知系数。 - I/ B9 u/ M0 G1 A9 [+ B1 X

4 计算实例

我们用半顶角为15°，小端直径为20mm的锥面砂轮来磨制直径为20mm、钻头中心厚3mm、刃倾角2f=118°、横刃倾角为 45°的钻尖，要求后刀面初始角为8°，逐渐增大到30°时，算得砂轮轴运动曲面和实得后刀面见下表1。 9 w+ b% s0 B. u/ u9 J2 Y( R* w+ e5 m; [2 c4 o* e( j2 s# y: T. t8 [+ s9 _; d7 X- c3 J r5 t5 R% E" V2 }' g F# k- G4 b" k4 k' a( n, N+ B( J$ w1 h2 y! \" a0 z0 I5 r6 H R- y3 E" r8 k1 {4 A7 O, [9 F- d8 g! _+ D4 ]% a3 U: X& q' c o6 Z6 R/ f4 y" Q1 n4 ]1 l* r) ]9 Y3 R/ |" Y' H/ N( i! j& R9 m4 q3 H3 I* S" C) j. T3 L. V4 W7 X2 [: u* J6 ^/ c0 u) L' M: a* H* _' J' h& D! n1 s- J/ k% s* F" {- r4 G8 b; a k' ~( h6 ~% F" u4 R3 c4 [* [6 q/ E6 H ~3 T$ a1 k, i$ [1 C4 ^; e7 d' u" ^$ m5 r0 L8 n# W2 Q" E6 H' l1 J3 w) U: k" \0 [# C6 j' R/ l0 l1 q$ B' L- ~- ?) W, n0 [3 j6 f* ^# e `- s1 A( k+ s4 J8 f: {3 c2 _. V) ~, w8 a [. a5 K' K; q" P" e4 ?7 w7 V5 N8 V, `( p2 f: C* V1 ?( Z* c. g" B- ]& g" Q- f5 i9 p! y; V$ X) M' F4 ?9 y9 \5 J6 A; x7 Y7 P$ Z- P- z' m! I6 O' u/ o) L8 p1 \6 Q7 z' ~/ u1 y" x2 d6 O8 h/ e( r X; Q6 s* k) h' H, l4 Q: b& g ~. M+ Z/ \) p6 n" I7 r8 V" d# s" [$ ~/ B9 U* S/ m: o; f! E' {8 [0 z! l" F: r$ U4 E, ?! y+ B8 K4 Q) z( G# {2 r( {2 S8 n7 h( W- l w+ m Z$ x" u7 t$ l: W/ R* y2 P$ i8 F: x1 B1 A$ T9 e1 k6 s4 d: G4 M3 T. R4 ]3 c2 t6 j1 L+ b0 o( z9 V: v# g* }8 o6 E8 Q5 l2 |) j& I2 G$ l/ T0 {, V. C# \9 n7 V7 w% e r% m+ @7 q9 E. V1 y$ o3 z7 S; j$ d' ?% A: g/ w6 n+ f* Y) b9 x0 j* G$ E. @& ?# R! S2 Z8 U. ~5 T- O( k9 u1 y7 J2 e

表 1 钻尖后刀面 Dh=0.4砂轮轴运动曲面

t	X	y	z	X	y	z
0.100000	0.534756	9.809271	3.924000	0.763944	14.837284	-4.716981
	0.603335	9.457872	3.727166	0.942209	14.603413	-4.806366
	0.671914	9.126473	3.530332	0.120622	14.369562	-4.895735
0.200000	-1.580552	9.754528	3.924000	-2.108333	14.610213	-4.802040
	-10457113	9.425280	3.733321	-1.875337	14.388882	-4.885273
	-10333674	9.096032	3.52642	-1.642207	14.167592	-4.968489
0.300000	-3.338388	9.394637	3.924000	-4.779435	13.885962	-4.893674
	-3.171519	9.083460	3.73720	-4.503827	13.680721	-4.972644
	-3.004649	8.770284	3.551440	-4.228131	13.477522	-5.051607
0.400000	-4.731216	8.749464	3.924000	-7.235865	23.621814	-4.949085
	-4.529724	8.457240	3.739593	-6.926962	12.436927	-5.026309
	-4.32832	8.165016	3.55186	-6.926962	12.436927	-5.026309
0.500000	-5.751500	7.838875	3.924000	-9.421327	10.782169	-4.900363
	-5.522062	7.568788	3.738497	-9.086045	10.618028	-4.978542
	-5.292624	7.298700	30552995	-8.750838	-10.453816	-5.056713

5 结论

. k( f7 k6 t7 W

本文详细地介绍了钻头磨尖的几何模型的建立过程，和以往的磨制方法不同的是，我们先建立理想的后刀面，然后再寻求砂轮的运动。计算结果表明，本模型实用、可靠，此项研究曾结合工厂(因大批退货)实践而进行，取得了很好的效益。