对铸铁承压构件强度条件的补正

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分析铸铁承压构件的强度问题时，一般都将其简化作杆件。认为这类杆件受轴向压力破坏时，其破坏断面与杆件横截面大致成α为45°左右的倾角。其原因是此时横截面上的最大工作正应力为σ，而任意斜截面上的正应力σ_α和剪应力τ_α分别为

σ_α＝σcos²α　　τ_a＝σsinαcosα      （1）

　　由式(1)可知，在α＝45°的斜截面上剪应力最大，其值为τ_45°＝σ／2。正是此最大剪应力使杆件沿其作用面发生了破坏(剪断)。若设［τ］为材料的许用剪应力，则按最大剪应力理论建立的强度条件为

σ≤2［τ］      （2）

　　上述强度条件在铸铁承压构件的设计和计算问题中广泛应用。但大量工程实例表明，这一强度条件较为粗糙、且过份偏于安全。对其进行补正实属必要。

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1　铸铁的压缩试验研究

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　　在WE-30万能试验机上对360个径长比为1∶(1.5～2)的灰口铸铁小圆柱试件进行了压缩试验。试验中径长比取得较小，以尽可能消除压弯变形的影响；对试件上、下端部进行了研磨平整，以消除倾斜变形的影响；在试件上、下端部与试验机砧块间采用了润滑剂，以减少摩擦力的影响；在部分试件的中段加套了10mm高的松配合钢套，以减少鼓涨变形的影响。
　　试验结束后，对试件破坏断口进行显微观察证实：断口颗粒较为光滑，且有滑移痕迹、表现出剪断的典型特征。可见，最大剪应力理论对此类问题是适用的。破坏断面与试件横截面夹角α的分布情况见下表。

表　α的分布情况

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α	＜40°	40°～50°	50°～60°	＞60°	其它	合计
试件个数	1	26	320	6	7	360

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由表1可见，破坏断面与横截面夹角α为45°左右的试件个数所占比例很小，仅7.2%。而α为55°左右的试件个数所占比例则很大，为88.9%。排除各种非理想随机因素以及上面提到的诸影响因素的残余影响，从实验力学的统计观点看，可得如下结论：铸铁试件受轴向压力破坏时，其破坏断面与试件横截面的夹角α一般为55°左右。这就与前述一般认为α应为45°左右的结论产生了很大差异，有必要从理论上探究其原因。 . w; I3 V$ x! H X 2　承压杆件任意斜截面上的应力分析 h [/ v0 r, f2 S 　　目前工程上沿用的理论分析方法一般均只考虑了破坏断面上全应力pα的切向分量τα，而对法向分量σα的作用则未予考虑。图1为试件任意斜截面上的应力分析图。设轴向压力为P，横截面上的正应力为σ，材料的内摩擦角为ψ，则任意斜截面上除有如式(1)所示的正应力σα和剪应力τα外，尚有摩阻剪应力τf，其表达式为

       （3）

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图1　任意斜截面上的应力分析图

　　τ_α和τ_f的方向如图1所示。斜截面上总剪应力τ的表达式为

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τ＝τ_α－τ_f      （4）

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　　由式(1)和式(3)可得τ_α随α而变化以及τ_f随α和ψ而变化之规律，如图2所示(设α＝100应力单位)。
　　如果不考虑材料内摩擦力的影响(图2)，杆件任意斜截面上的剪应力即为τ_α曲线，其最大值为该曲线的极值点τ_45°，发生在α＝45°的斜截面上。如果计入内摩擦力的影响，则：当α＞ψ时，τ_f随α的增大而减小，随ψ的增大而增大，τ＝τ_α－τ_f，其τ_max较之τ_45°必有相当程度的减小；当α＝ψ时，将式(1)中第1式代入式(3)可得τ_f＝σsinαcosα＝τ_α，故此时τ_f曲线与τ_α曲线同，该斜截面上的总剪应力τ＝τ_α－τ_f＝0；当α＜ψ时，理论计算将出现τ_α＜τ_f的结果，这与事实不符。事实上，摩阻剪应力τ_f是由主动力τ_α引起的静滑动摩擦约束反力。此时其值不再由库仑定律确定，而应据静力平衡条件确定为τ_f＝τ_α，故有τ_f曲线与τ_α曲线同，斜截面上的总剪应力τ＝τ_α－τ_f＝0。

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图2　τ_α、τ_f的变化规律图
1：τ_f（ψ＝10°）　2：τ_f（ψ＝20°）　3：τ_f（ψ＝30°）

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　　综上所述可见，在分析铸铁承压构件的强度问题时，必须考虑内摩擦力的影响。

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3　破坏断面的位置及总剪应力的最大值

　　将式(1)和式(3)代入式(4)，整理后得　　

      （5）

　　将式(5)对α取导数并令其等于零，即得破坏断面与杆件横截面的夹角α为　　

α＝45°＋ψ／2      （6）

　　式(6)中，ψ是一个随杆件尺寸和形状的变化、斜截面上正应力的变化以及试验条件的变化而变化的范围量。注意到材料的抗剪强度由粘结力和内摩擦力两部分组成，当单独考虑内摩擦力的作用时，在极限情况下可以粗略地认为沿剪切面两部分材料之间的粘结力为零。据此，用“倾斜法”对多组表面情况各异的“铸铁-铸铁”摩擦副进行了测量。测得在无润滑情况下，其静滑动摩擦角的最小值为10°。显然，从工程应用的角度来考虑，可以认为此即为铸铁内摩擦角的下限。另外，由摩擦的分子理论可得摩擦系数f的计算公式为f＝τ／P_c，其中τ为微粘结点的剪切强度，P_c为摩擦副中较软材料的屈服压强。对各向同性材料，当发生粘着摩擦时，由屈服条件中τ_y与σ_y的关系可得

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　　由此得ψ＝30°。此即为铸铁内摩擦角的上限。
　　将ψ值的下、上限分别代入式(6)，得　　

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50°≤α≤60°     （7）

　　这就从理论上证明，铸铁杆件受同向压力破坏时，其破坏断面与杆件横截面的夹角α一般应为55°左右，理论分析结论与前述试验结果取得了一致。若将式(6)代入式(5)，即得破坏断面上总剪应力的最大值为

      （8） 3 k; f; D) r9 c Z

4　对铸铁承压构件强度条件的补正

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　　目前工程上沿用的理论分析方法没有考虑材料内摩擦力的影响，则危险截面上的最大剪应力为τ_max＝τ_45°＝σ／2，按最大剪应力理论建立的强度条件即如式(2)所示。
　　计入内摩擦力的影响，危险截面上的最大剪应力即如式(8)所示。按最大剪应力理论建立的强度条件为

      （9）

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若以K表示材料的内摩擦影响系数，并令

      （10）

则强度条件式(9)又可表示为

     (11)

　　式(11)即为对现行铸铁承压构件强度条件式(2)的补正式。两者形式基本相同，差别仅在于是否计入内摩擦影响系数K。式(11)较之式(2)具有更准确、更符合工程实际的优点。如前所述，铸铁内摩擦角的取值范围为10°≤ψ≤30°，故由式(10)可知，K为恒大于1的正数。可见，计入内摩擦力的影响后，铸铁的抗压能力有显著提高。若以内摩擦角的上限ψ＝30°代入式(10)，计算后可知，其抗压能力可增至原来的1.73倍。在一般的工程实际问题中，如果材料的内摩擦角不能确定，建议取中间偏小值为ψ＝15°～20°，此时K＝1.30～1.43，代入式(8)和式(11)，计算结果与实际情况有较好的吻合。对于安全性要求特别高的零件，则建议取最小值为ψ＝10°，此时K＝1.19，其抗压能力仍可提高近二成。