一种新型的线性分段插值法的研究

HEATS · 发表于 2010-9-13 22:22:16

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1 引言

在工业生产实践中，系统误差是不可避免而又必须加以校准的。对其较典型的处理是用模型法的非线性校正，即对系统误差进行理论分析和数学处理以建立起系统误差模型，再以此模型确定校正算法和数学表达式。作者在进行系统误差非线性校正中，除采用了传统的分段线性插值法，还根据具体情况采用了作者命名为逐次逼近线性插值法进行处理。通过对两种方法结果的比较，认为逐次逼近线性插值法效果良好，具有一定的实用价值。线性化处理软件编程法分三种方法：计算法、查表法、插值法；其中，插值法又分分段线性插值法、二次插值法、分段曲线拟合法、实验曲线的自动拟合法等。下面先简介分段线性插值法。

图1

2 分段线性插值法

此法较为常用，基本方法就是将y=f(x)曲线分成几段直线代替曲线。如图1示。

设非线性函数y=f(x)在区间[x₀,x_m]是单调的。过点(x₀,f(x₀)),(x_m,f(x_m))作直线U=F(x)=Ax+B,则在直线段区间中，其拟合误差：

D= # [% p- I. H% j1 w9 ]% N+ @	F(x)-f(x) 0 \( `' {0 q# s( D' n
	0 e, {& Y$ y! e! I C5 M! N
	f(x)

若该段最大误差点不大于允许误差时，可用直线U=F(x)拟合曲线u=f(x),否则可将区间再细分分化为两个子区间，分别作折线进行误差判断。这样按上述方法不断进行区间划分，直至各子区间m(x)均满足为止。

由于输入-输出函数的非线性，且要求各子区间的拟合最大误差满足△_max≤δ,因而各子区间长度不一。这就涉及到了区间划分问题。分段线性插值法使用优选法进行区间划分，即使用系数0.618。如图1所示，从x_m处向低值截取x_k=0.618(x_m-x₀)的一段为第二区间，(x₀,x_k)为第一区间。连接点(x_k,f(x_k)),(x_m,f(x_m)),既得区间[x_k,x_m]的拟合折线为：

F₁=A₁x+B₁

A₁=(f(x_m)-f(x_k))/(x_m-x_k),B₁=f(x_m)-A₁x_1m

依次类推，可知第i个子区间的拟合折线为：

F_i=A_ix+B_i

A_i=(f(x_(i+1)m)-f(x_im))/(x_(i+1)m-x_im),B_i=f(x_im)-A_ix_im

若f(x)为非单调曲线，则可先通过df/dx=0求出各极点，以便化为单调区，再在各单调区间应用上述方法进行拟合。

图2 二分法分段线性插值法

3 逐次逼近线性插值法

作者在对分段线性插值法的作用中发现，该法中公式的系数取0.618,这对均匀数组来说易引起编程错觉。如在求区间段中，当m-k=2时，X=x[m]-0.618(x[m]-x[k])，则x[m]若数组个数为m+1个，则在区间(x[0],x[m])范围内，令X=x[m]-0.5(x[m]-x[0])进行第一次划分，若X=x[k]或x[k]4 方法比较

用以上两种方法分别对采集数组进行了公差为0.001mm,0.015mm和0.002mm的区间计算，所得折线公式数(区间数)如下表所示。

δ ) E/ ]3 d$ D! S) E7 \|, R9 _	0.001 ) D3 F% o3 b' G+ f% s0 d	0.015 + g9 I% ~, w2 D4 ~; w	0.002 ) X- O0 K. {; q5 J% `" \* d' E. ~* T
区间数 6 \$ }1 j0 p: `2 P2 D* e+ y
方法 3 K- @. _* @) ^& j' _1 I
分段线性插值法 ! Q/ H$ u# Q' M% }' h4 I	73 " W7 i' k: ?1 z' [0 j3 c: \|5 k	27 0 k2 N7 M s' r! \8 E1 t; I: N	13 - k8 b3 U# [0 y9 k- n- v1 _0 p q
逐次分段线性插值法 + ~: \/ r7 i$ d: N7 v" M. s	75 + ]1 w; W4 T( O8 ~* z9 e7 x( j	29 & J' c1 K! h% \1 ]4 P) O	13

5 结束语

由上述实验数据可以看出,逐次逼近线性插值法效果同传统分段线性插值法基本相同，分段区间较少，线性化良好，其思维方式符合编程习惯，编程清晰，具有一定的实用价值。该法为非线性校正又增添了一种新的可供选择的方案。

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