一种新型的线性分段插值法的研究

HEATS

1 引言

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在工业生产实践中，系统误差是不可避免而又必须加以校准的。对其较典型的处理是用模型法的非线性校正，即对系统误差进行理论分析和数学处理以建立起系统误差模型，再以此模型确定校正算法和数学表达式。作者在进行系统误差非线性校正中，除采用了传统的分段线性插值法，还根据具体情况采用了作者命名为逐次逼近线性插值法进行处理。通过对两种方法结果的比较，认为逐次逼近线性插值法效果良好，具有一定的实用价值。线性化处理软件编程法分三种方法：计算法、查表法、插值法；其中，插值法又分分段线性插值法、二次插值法、分段曲线拟合法、实验曲线的自动拟合法等。下面先简介分段线性插值法。
! \: l0 j5 T9 b% o0 G9 B H; V& f, \: k% O* J9 ?) R) I" n5 _/ H0 }: ~8 r

图1

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2 分段线性插值法

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此法较为常用，基本方法就是将y=f(x)曲线分成几段直线代替曲线。如图1示。 3 [0 _2 Q8 x# T7 X w$ H

设非线性函数y=f(x)在区间[x₀,x_m]是单调的。过点(x₀,f(x₀)),(x_m,f(x_m))作直线U=F(x)=Ax+B,则在直线段区间中，其拟合误差： 9 Z4 L8 }" I V7 o: T% b! g! }. d

D=	F(x)-f(x)
	1 L2 Z0 Y, g5 p$ t' i
	f(x)

$ d/ _8 x T. v! V' k% a; b: X

若该段最大误差点不大于允许误差时，可用直线U=F(x)拟合曲线u=f(x),否则可将区间再细分分化为两个子区间，分别作折线进行误差判断。这样按上述方法不断进行区间划分，直至各子区间m(x)均满足为止。 8 Z: q! P2 f9 m! c4 c

由于输入-输出函数的非线性，且要求各子区间的拟合最大误差满足△_max≤δ,因而各子区间长度不一。这就涉及到了区间划分问题。分段线性插值法使用优选法进行区间划分，即使用系数0.618。如图1所示，从x_m处向低值截取x_k=0.618(x_m-x₀)的一段为第二区间，(x₀,x_k)为第一区间。连接点(x_k,f(x_k)),(x_m,f(x_m)),既得区间[x_k,x_m]的拟合折线为：

F₁=A₁x+B₁

A₁=(f(x_m)-f(x_k))/(x_m-x_k),B₁=f(x_m)-A₁x_1m

依次类推，可知第i个子区间的拟合折线为：

F_i=A_ix+B_i / t3 E& r: |. d0 K: g

A_i=(f(x_(i+1)m)-f(x_im))/(x_(i+1)m-x_im),B_i=f(x_im)-A_ix_im / }, ^: w. B+ Q4 D4 g! B2 t9 H! a# c

若f(x)为非单调曲线，则可先通过df/dx=0求出各极点，以便化为单调区，再在各单调区间应用上述方法进行拟合。
* x/ ] T8 E* Q7 ^

图2 二分法分段线性插值法

# }6 K- w! H5 ~# A W

3 逐次逼近线性插值法

作者在对分段线性插值法的作用中发现，该法中公式的系数取0.618,这对均匀数组来说易引起编程错觉。如在求区间段中，当m-k=2时，X=x[m]-0.618(x[m]-x[k])，则x[m]若数组个数为m+1个，则在区间(x[0],x[m])范围内，令X=x[m]-0.5(x[m]-x[0])进行第一次划分，若X=x[k]或x[k]4 方法比较

用以上两种方法分别对采集数组进行了公差为0.001mm,0.015mm和0.002mm的区间计算，所得折线公式数(区间数)如下表所示。
9 v& Y( n/ E$ T2 l4 c* w5 z1 S9 H ]) c, W- Y3 @- r# h( R& o6 N! }- p

δ 3 Y9 j% o9 ~6 @' Y; k% W; q @$ w! n	0.001 ) V# `& A8 l$ m% H: A5 i	0.015	0.002 , |$ W! R( V" w$ r8 c0 K! [
区间数 4 V6 h) k B. h- l3 s& Q
方法 # [4 L( T i8 s0 A; V
分段线性插值法 ( q9 S, @! i- x' T/ `: K4 @1 |	73 3 h3 }6 Z* w- \( U% y1 p5 {1 v	27	13 2 s' w. u# L. r6 z' L
逐次分段线性插值法 , B7 B+ l. \ {9 M& i	75 . ] Z, t8 v/ J' \ Z' F) @6 t	29 4 g; q% s. a+ y8 H8 o$ L3 }	13

9 P- E( P# C" ^" f! R

5 结束语

由上述实验数据可以看出,逐次逼近线性插值法效果同传统分段线性插值法基本相同，分段区间较少，线性化良好，其思维方式符合编程习惯，编程清晰，具有一定的实用价值。该法为非线性校正又增添了一种新的可供选择的方案。

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