一种新型的线性分段插值法的研究

HEATS

1 引言 # u3 b: t$ X# L2 W1 n# Q1 S0 ^, P

在工业生产实践中，系统误差是不可避免而又必须加以校准的。对其较典型的处理是用模型法的非线性校正，即对系统误差进行理论分析和数学处理以建立起系统误差模型，再以此模型确定校正算法和数学表达式。作者在进行系统误差非线性校正中，除采用了传统的分段线性插值法，还根据具体情况采用了作者命名为逐次逼近线性插值法进行处理。通过对两种方法结果的比较，认为逐次逼近线性插值法效果良好，具有一定的实用价值。线性化处理软件编程法分三种方法：计算法、查表法、插值法；其中，插值法又分分段线性插值法、二次插值法、分段曲线拟合法、实验曲线的自动拟合法等。下面先简介分段线性插值法。
3 r, O( ^' K- |! J1 P" C2 h6 Q4 k) O3 Z. \1 m$ ?: S; T" V6 R. R: h; Z/ q

图1

1 F; o+ f9 k/ C

2 分段线性插值法

) Y1 _6 i5 ~. S& V( ]

此法较为常用，基本方法就是将y=f(x)曲线分成几段直线代替曲线。如图1示。

设非线性函数y=f(x)在区间[x₀,x_m]是单调的。过点(x₀,f(x₀)),(x_m,f(x_m))作直线U=F(x)=Ax+B,则在直线段区间中，其拟合误差： 5 z$ l& r* k5 K) a& O8 j1 b( T" V0 H' w: V( U6 o6 B* @; P2 v @) ^+ _7 \6 l7 y. J( F# y

D=	F(x)-f(x) . Y% G0 q5 w2 L, d- l
	f(x)

若该段最大误差点不大于允许误差时，可用直线U=F(x)拟合曲线u=f(x),否则可将区间再细分分化为两个子区间，分别作折线进行误差判断。这样按上述方法不断进行区间划分，直至各子区间m(x)均满足为止。 4 \; e( ?' M U7 L3 [

由于输入-输出函数的非线性，且要求各子区间的拟合最大误差满足△_max≤δ,因而各子区间长度不一。这就涉及到了区间划分问题。分段线性插值法使用优选法进行区间划分，即使用系数0.618。如图1所示，从x_m处向低值截取x_k=0.618(x_m-x₀)的一段为第二区间，(x₀,x_k)为第一区间。连接点(x_k,f(x_k)),(x_m,f(x_m)),既得区间[x_k,x_m]的拟合折线为：

F₁=A₁x+B₁ 8 ?/ f8 x" C9 Q* { K( T

A₁=(f(x_m)-f(x_k))/(x_m-x_k),B₁=f(x_m)-A₁x_1m $ n6 E/ x0 C# s4 V& F. A/ y

依次类推，可知第i个子区间的拟合折线为：

F_i=A_ix+B_i

A_i=(f(x_(i+1)m)-f(x_im))/(x_(i+1)m-x_im),B_i=f(x_im)-A_ix_im

若f(x)为非单调曲线，则可先通过df/dx=0求出各极点，以便化为单调区，再在各单调区间应用上述方法进行拟合。
- { g# w4 P7 l6 j. l, N4 `8 J6 `( W5 j9 Q1 L$ q6 F% t6 d& t0 G4 L. W

图2 二分法分段线性插值法

6 f8 U* a* L' Z! @

3 逐次逼近线性插值法

! _8 c# D# m$ \* @7 M- I

作者在对分段线性插值法的作用中发现，该法中公式的系数取0.618,这对均匀数组来说易引起编程错觉。如在求区间段中，当m-k=2时，X=x[m]-0.618(x[m]-x[k])，则x[m]若数组个数为m+1个，则在区间(x[0],x[m])范围内，令X=x[m]-0.5(x[m]-x[0])进行第一次划分，若X=x[k]或x[k]4 方法比较

& y3 j6 \7 k* T4 r

用以上两种方法分别对采集数组进行了公差为0.001mm,0.015mm和0.002mm的区间计算，所得折线公式数(区间数)如下表所示。
& A. I: W! F7 Z6 I0 u1 V/ z4 B) B0 H4 j% @+ e) y2 `* v& }% d2 l- u' J, o$ h. ]1 t C9 O$ g2 J1 q

δ + ?$ |- F" d6 j	0.001 0 N% D" l& u" l y5 [8 q	0.015	0.002 2 b L1 s c/ p4 [
区间数 3 ?1 T# Y! c5 e: s0 k
方法 " m' q' N: t8 a* m: J' q5 s* h
分段线性插值法 . T/ L& h, Z+ Z6 |8 k	73 + V- f) E7 q5 T	27 % |$ y5 S/ ? g2 l/ k0 I0 ~	13
逐次分段线性插值法	75 ( | @0 `7 k% A* s$ M" `& D	29	13

5 结束语

由上述实验数据可以看出,逐次逼近线性插值法效果同传统分段线性插值法基本相同，分段区间较少，线性化良好，其思维方式符合编程习惯，编程清晰，具有一定的实用价值。该法为非线性校正又增添了一种新的可供选择的方案。