一种新型的线性分段插值法的研究

HEATS

1 引言 - K9 g: e- s$ g

在工业生产实践中，系统误差是不可避免而又必须加以校准的。对其较典型的处理是用模型法的非线性校正，即对系统误差进行理论分析和数学处理以建立起系统误差模型，再以此模型确定校正算法和数学表达式。作者在进行系统误差非线性校正中，除采用了传统的分段线性插值法，还根据具体情况采用了作者命名为逐次逼近线性插值法进行处理。通过对两种方法结果的比较，认为逐次逼近线性插值法效果良好，具有一定的实用价值。线性化处理软件编程法分三种方法：计算法、查表法、插值法；其中，插值法又分分段线性插值法、二次插值法、分段曲线拟合法、实验曲线的自动拟合法等。下面先简介分段线性插值法。
" M* W0 W2 j) J" ]4 A( @" c8 W7 v. c% E- Y% G2 q( \& S- t+ H6 m( E" j. x3 D

图1

( j0 {# T. c4 z3 l

2 分段线性插值法

此法较为常用，基本方法就是将y=f(x)曲线分成几段直线代替曲线。如图1示。 - c$ q3 t; R. k% U

设非线性函数y=f(x)在区间[x₀,x_m]是单调的。过点(x₀,f(x₀)),(x_m,f(x_m))作直线U=F(x)=Ax+B,则在直线段区间中，其拟合误差： , J8 u4 d( X- ?! U

D=	F(x)-f(x)
	f(x)

若该段最大误差点不大于允许误差时，可用直线U=F(x)拟合曲线u=f(x),否则可将区间再细分分化为两个子区间，分别作折线进行误差判断。这样按上述方法不断进行区间划分，直至各子区间m(x)均满足为止。

由于输入-输出函数的非线性，且要求各子区间的拟合最大误差满足△_max≤δ,因而各子区间长度不一。这就涉及到了区间划分问题。分段线性插值法使用优选法进行区间划分，即使用系数0.618。如图1所示，从x_m处向低值截取x_k=0.618(x_m-x₀)的一段为第二区间，(x₀,x_k)为第一区间。连接点(x_k,f(x_k)),(x_m,f(x_m)),既得区间[x_k,x_m]的拟合折线为： ( H( Q$ h; c: ?- H( M

F₁=A₁x+B₁ " _( Q$ l& x6 E) W

A₁=(f(x_m)-f(x_k))/(x_m-x_k),B₁=f(x_m)-A₁x_1m + b1 W1 Y# s. x) C7 [5 Y

依次类推，可知第i个子区间的拟合折线为： . U& d( j, ~: w# F* Z* m4 F

F_i=A_ix+B_i

A_i=(f(x_(i+1)m)-f(x_im))/(x_(i+1)m-x_im),B_i=f(x_im)-A_ix_im % `$ V% k- ], N# D* W. g* h# N! K) H

若f(x)为非单调曲线，则可先通过df/dx=0求出各极点，以便化为单调区，再在各单调区间应用上述方法进行拟合。
6 a$ |/ B& a; x. R, Q6 I" i/ r2 r1 b& k

图2 二分法分段线性插值法

9 b0 t" }- [; A) |5 P2 i* }: U1 `

3 逐次逼近线性插值法

$ H5 @: i9 P+ j e4 \

作者在对分段线性插值法的作用中发现，该法中公式的系数取0.618,这对均匀数组来说易引起编程错觉。如在求区间段中，当m-k=2时，X=x[m]-0.618(x[m]-x[k])，则x[m]若数组个数为m+1个，则在区间(x[0],x[m])范围内，令X=x[m]-0.5(x[m]-x[0])进行第一次划分，若X=x[k]或x[k]4 方法比较 " e# C$ U9 W6 e4 A6 N

用以上两种方法分别对采集数组进行了公差为0.001mm,0.015mm和0.002mm的区间计算，所得折线公式数(区间数)如下表所示。
. j) Q7 L, C7 j1 p; t4 K+ w) u3 W" |6 S1 X' Z+ a' f& _; P u8 U+ |" v) B) H4 n( A6 G9 l7 Q- Y# n5 f5 }, o1 d3 I: _* @1 a

δ . c1 l: I% r7 Y( K	0.001 + q' {2 t( ~' I+ Q	0.015	0.002 9 d9 f1 p1 @4 {* P9 x# q! h
区间数 ^* Z4 R3 k- h
方法 ( E H$ \ O1 r
分段线性插值法 0 S& I. ]! f3 H2 y! h5 t	73 6 j/ Z* U# e7 E8 S4 V; y	27	13
逐次分段线性插值法 6 H$ f8 ^ j2 ^' B6 _& K8 {	75 / w }9 N- ^3 O7 h, P p ?	29 1 I* J9 \1 w! b4 c1 ?" C	13

0 ?4 w% B; O4 n" m$ m, s( h; j

5 结束语

由上述实验数据可以看出,逐次逼近线性插值法效果同传统分段线性插值法基本相同，分段区间较少，线性化良好，其思维方式符合编程习惯，编程清晰，具有一定的实用价值。该法为非线性校正又增添了一种新的可供选择的方案。

7 f+ b) F9 i4 V4 v# K; h. P$ r