离心力对车削加工误差影响的数学分析

HEATS

在车削加工中，特别是高速车削时，由于高速旋转零件的不平衡，必然会产生离心力，分析和认识离心力对加工误差的影响是人们常常关注的问题。综合各种结论，一般有两种不同的看法。其一，认为离心力会使工件外圆产生尺寸误差，即半径误差：另一种看法认为会影响外圆的形状误差。本文从数学角度对此问题进行分析，提出与上述结论完全不同的看法。

1 离心力的数学表达式及其分析

设被加工工件的重力为W，车床主轴的转速为n，不平衡质量m 到旋转中心的距离为r，则离心力F_Q 为： 4 |& k. @6 b1 ]& D% d9 s: L% `) u# z# @9 \

Z' B7 N/ q, W% D& j- \- k, W+ O8 T3 C/ F$ z% q# ^+ k! W9 g( I+ N! O7 X5 ^0 ^$ _+ O0 q0 B& \( U/ U- J FQ=mrw2= W r( 2pn )2 g 60

(1)

设工艺系统刚度为K_XT，在离心力的作用下主轴轴线的偏移量A_r 为： % _ y0 {6 N& E: Z- l* r7 i

Ar=Fo/KXT

(2)

由于F_Q 的方向是不断变化的，所为我们应通过建立坐标系来研究其变化规律。如附图所示，建立绝对坐标系YOZ，O点为主轴的理想轴心，且假设主轴无回转误差。由于离心力的作用，使主轴的实际回转轴心O₁(y_o1，z_o1)在YOZ平面内以主轴角速度w旋转变化，我们以O₁瞬时轴心建立动坐标系统VO₁W，则离心力引起的主轴瞬时轴心变化的数学表达式为： / I: T, U& h" S d2 ]! O* v/ _- J" @, M

, i L5 O( d. a- c( f# |% Z( R, h: P- J; D6 z3 F) h2 O4 O1 p7 `' j9 v" _7 {) c7 n$ F4 g Q6 O! @8 q' s' `5 y9 n { yo1=Arcoswt=Arcosf zo1=Arsinwt=Arsinf

(3)

式中f为离心力的瞬时转角。

绝对坐标系统与动坐标系统之间的坐标变换关系式为： - h. s o: F' X# N6 H7 S) ]" T' T/ C+ k! F7 O1 i$ g( i! z O$ @

7 W, p1 d) I" P; `3 e: A- X. {9 W% r4 l# g7 D. @* b. l% u$ W( L& {0 H1 a- l# K* `7 e5 c' v1 R1 J+ G7 c% \/ `+ p) o5 D8 c6 `, P/ I% S* `& A8 i; _+ U- S" ?2 `2 l! F* d+ V! @6 A& R X9 S9 [8 ?! d5 C! s6 |+ d% E( R. T1 q: S4 {/ M* G D/ z+ b; `1 W2 E8 E5 o1 x: c) s/ }& L! l" f: C2 D3 ]' V0 _9 |% k/ R/ u& B6 z. Z" e6 A& A9 i$ f4 N5 C ( y ) = ( yo1 ) + ( cosf -sinf )( V ) z zo1 sinf cosf w	(4)
* ?- D% Z% T: N, F* |' U" Q. o2 q9 I& g! y) q8 n4 _! v' C" f' Y' p& o/ g/ B+ F; c) W+ x5 o% } S! H$ D l/ E# t" w. Q: R) k6 I3 ]- {7 x4 }" S9 ?- L' S5 I9 [- d1 y' O9 Z1 F& F) W* D2 H% v7 a! o$ e" ^% s7 b5 ]2 v- { ( v ) = ( y -yo1 )( cosf sinf ) w z -zo1 -sinf cosf	(5)

车削加工时，由于加工件是随主轴一起旋转的，因此，工件横截面的几何形状是由刀具在动坐标系中的相对轨迹形成的。设刀具在绝对坐标系中的坐标位置为： 6 j' l1 f5 H! u( \7 _6 @8 g: L4 t5 p$ r: q9 M+ X8 J8 ^3 a, D# |9 U' G0 J" [3 P/ |" M1 b2 E

8 z/ M; z) |6 K4 q0 l& E% P4 Y6 C! d/ A7 P$ w1 [# b3 \) F! A5 T4 a$ [" y$ D$ b! D$ a+ q$ }8 m* C- f' b3 L { y=r z=0

(6)

式中r为工件加工半径。

将式(6)及式(5)式代入式(5)得： ; ?# T, E, x. }8 P

: \) h7 A, t v6 @" a9 X, Q# r% C/ ?4 j( e. d/ f- ?( a& y: u' {9 ?; i. S2 T; ^2 E; {1 L2 p! M# R$ U4 _ { v=(r-Arcosf)cosf-Arsin2f=rcosf-Ar w=(r-Arcosf)(-sin f)-Arsinfcosf=rsinf

(7)

由式(7)可得： 4 s3 Z c: B1 E D; b. E5 ]; H, b, M- t! a7 C' D, a7 F" M2 q( q% U+ e1 z* L

(v+Ar)2+w2=r2

(8)

6 N+ t" }, A9 t6 L; p

附图

由式(8)可明显看出，被加工工件的横截面仍然是半径为r的圆，无任何形状误差和尺寸误差，只是该圆的圆心相对定位基准O偏移了A_r的距离，因而加工表面与定位基面之间产生同轴度误差。 / n& [3 r- t7 `: ]' H2 d

2 结论

! i6 c4 h/ V4 J0 u, w- W, W( E- ]

1. 车削加工时，由于工件不平衡产生的离心力不会造成加工面的尺寸误差和形状误差，只会造成加工面与定位面的同轴度误差，其同轴度误差为离心力引起的变形量A_r。 ; z ~# T- V9 _( x4 f1 G+ q
2. 测量加工表面的尺寸和形状时，应正确地选择测量基准。尺寸要测量直径，若要测量半径和外圆形状，就要按包容原理确定测量基准。 : F ^: u8 m; m% X( N3 j8 w
3. 离心力可引起工艺系统的振动，影响加工表面质量和同轴度误差，应对加工工件质量不平衡采取工艺措施予以限制。 5 x3 i* _" ^4 b4 w( L# ?1 S
4. 上述结论同样适用于单拨盘带动工件旋转时车削外圆(磨削外圆)的情况。