虚轴钻头刃磨机运动方程的研究

markie001

前言
! E% s# I' a- m; B# _7 p' V5 S! t5 W90年代中期出现的虚轴机床引起了整个机械制造业的关注，被称为是“本世纪机床设计的首次革命性变革”。这种机床实际是一种空间并联连杆机构，其基本结构是一个活动平台、一个固定平台和连接两个平台的六根连杆。不断改变六根杆的长度，活动平台便产生6自由度的空间运动，带动刀具在工件上加工出复杂的三维曲面。与传统机床相比，虚轴机床具有刚性高、精度高、运动速度高和机械结构简单等优点，但其不足之处是工作空间小于同等尺寸的传统机床。
麻花钻后刀面是复杂的三维曲面，而且刃磨钻尖时只需要很小的工作空间，所以在钻头刃磨机上采用虚轴机床的结构将是非常适宜的。本文将对在虚轴钻头刃磨机上刃磨圆锥面钻尖进行探讨。
1 机床结构的矢量表示
3 T' K) T' S7 x# [钻头刃磨机要使钻头相对于砂轮产生给定的三维运动，为此将钻头安装在活动平台上，砂轮安装在固定平台上。在固定平台上建立坐标系OBxByBzB，在活动平台上建立坐标系OPxPyPzP（图1）。各杆用矢量Li（i=1，2，…，6）表示，各杆与固定平台交点的位置用矢量Bi（i=1，2，…，6）表示，各杆与活动平台交点的位置用矢量Pi（i=1，2，…，6）表示，砂轮中心高用矢量h表示，砂轮中心至磨削点的半径用矢量r表示，被磨钻头悬伸部用矢量d表示（图1）。在给定结构下，Bi在OBxByBzB坐标系内和Pi在OPxPyPzP坐标系内分别为常矢量，记为BiB和PiP。
. S: i. _* m9 ]% N2 e) R2 钻尖锥面磨法的磨削参数
% R, N& b0 d  c  x5 o, D8 N磨削锥面钻头时，锥面、钻头、砂轮的初始相对位置见图2，控制这一相对位置的参数称为磨削参数。锥面钻尖的磨削参数有五个，其中q为锥面的半锥角，b为钻头主切削刃在钻头端截面内投影与xP轴夹角，f为锥轴线与zB轴夹角，H为锥顶到钻尖顶端距离在锥轴上的投影，d1为锥轴线与钻头轴线的距离。

: {+ ~: }8 C! Z- t  W8 A9 O8 K图1 机床结构的矢量表示
) @2 S; |& U1 @# {* d3 n& x* Y6 d图2 钻尖的锥面磨法原理图
( R: J/ h& R( O. _; _, V8 s% h6 M图2中O′x′y′z′为锥面坐标系，z′为锥轴。锥面在O′x′y′z′坐标系中的方程是
x′2+y′2-z′2tg2q=0
（1）
  G! l5 s# H) v# g, B# [& p) KOxyz为钻头坐标系，利用坐标的平移和旋转可得到锥面在Oxyz坐标系中的方程为
+ G. V/ t( t' i) h  y
（2）
+ @( G. k6 C3 ~3 y% u4 x式2给出了磨削参数q、b、f、H、d1之间的关系，任选其中四个，就可求出第五个。故锥面磨削法有四个独立的磨削参数。一些文献中均推荐了q、f、H、d1作为独立磨削参数，需用四个独立的方程求出。这些方程实际是钻头几何参数和磨削参数的关系式，对于给定的钻头几何参数如半顶角?、横刃斜角y、结构圆周后角afc等，可以得到相应的表达式，从而求出四个独立的磨削参数，然后由式2求出第五个磨削参数。这一过程在许多文献中均有介绍，此处不再赘述。
# k( N" y$ g) J3 钻尖锥面磨法的运动方程
刃磨时，先根据五个磨削参数调整钻头初始位置，即主切削刃接触砂轮外圆柱母线，钻头轴线与锥面轴线在空间相错，距离为d1。直线QQ′为二轴线的公垂线，垂足分别为Q和Q′（图2）。刃磨时钻头轴线绕锥面轴线旋转，Q点位置不变，二轴线夹角始终为f。
: b$ X: w) i' C2 v" W9 ]+ P( A! M0 |为便于推导，在锥轴上建立中间坐标系O*x*y*z*，原点O*与O点重合，z*与锥轴重合，y*平行于yB，x*由右手定则确定如图2所示。O*在OBxByBzB系中的位置可由径矢TCB确定
! N) c' c" B; x0 U3 N& w; E) ]TCB=（-bcos（q+f），0，bsin（q+f）+h+r）T
（3）
b=Htgq/sinf
; F2 {+ F: s- G2 _4 H6 }（4）
5 y" W) F9 r+ O: ~，H，d1，q——已确定的磨削参数
在刃磨初始位置时OPxPyPzP系在O*x*y*z*系内的方向可由矩阵RPC0确定

, f5 u& b0 i$ U( ?/ g（5）
采用锥面法磨钻头时，zP轴绕z*旋转，转角为-r，r称为运动变量。根据麻花钻刃瓣宽度，r的范围大约为0°～100°。转动后OPxPyPzP系在O*x*y*z*系内的方向矩阵变为

% U" ^, \) f0 M* {" _0 H* f; q（6）
式中 RzC（-r）——绕z*轴转-r角度的旋转矩阵
OP点在O*x*y*z*系中的位置可用径矢TPC表示，在初始位置时
TPC0=（asinf，-d1，acosf）T由图2及式4可见
- C% ?* X7 C5 x; z4 [/ F( Ga=d-b=d-Htgq/sinf绕z*轴转动-r角度后
, p4 k- ^+ Q: v1 z  U
6 Q7 }" K5 |0 \% I& H（7）
+ }5 F: ]7 e. _; }5 D; W由于z*轴和zB轴夹角为?′=90°-q，故OPxPyPzP系的方向矩阵在OBxByBzB系中的表达式为

（8）
  o9 k* Q+ X) {' d5 qOP点的位置矢量在OBxByBzB系中的表达式为
TPB=RyB（-f′）TPC+TCB=
! T% |0 j$ i& h. a& c" ~
) s9 k  ]- {( K4 W# U7 j. U9 t（9）
Li=T+Pi-Bi
（10）
式中T=h+r+d为OP点和OB点的相对位移矢量，在OBxByBzB系中表达时记为TPB。
& I% j( {8 B! x+ C) ]式（10）中的各矢量需要表达在同一坐标系中，而方向矩阵RPB又称为转换矩阵，可将PiP转换至OBxByBzB系中
4 E2 w5 f  u5 v8 L0 ~/ yPiB=RPBPiP
/ M1 O) |- R. k0 S; W& K" X（11）
故得杆矢量在OBxByBzB坐标系的表达式为
LiB=TPB+RPBPiP-BiB
: V2 }* G8 ]% G( M' a$ k（12）