直关系--直线与平面以及两平面的相对位置

lijihua2000008

1.直线与平面垂直
　　几何条件：如果一直线垂直于平面上的两条相交直线，则此直线垂直于该平面。
　　反之，如果一直线垂直于一平面，则此直线垂直于该平面上的一切直线。
* L1 H  H( Z4 e) Y) n* t　　投影：若一直线的水平投影垂直于平面上水平线的水平投影，直线的正面投影垂直于平面上正平线的正面投影，则该直线必垂直于此平面。反之，若一直线垂直于一个平面，则它的水平投影一定垂直于平面是水平线的水平投影，它的正面投影一定垂直于平面上正平线的正面投影，它的侧面投影一定垂直于平面上侧平线的侧面投影。
( c3 _% A  ]3 n% ^, E8 }/ `
　　如图4-18所示，AB和AC分别是△ABC平面上的水平线和正平线，ad⊥ab,
( g) A" M7 h4 ]6 f' m% k　　aˊdˊ⊥aˊcˊ,则直线AD垂直于平面△ABC。
　　例1 试求点K到△ABC△ABC平面的距离（图4-19a）
% B  N& q. |% `3 E　　解
1 }% x  f" s6 m　　分析 求点到平面的距离，需自该点向平面做垂线，并求出垂线与平面的交点，然后确定该点到垂足之间线段的实长。（图4-19b,4-19c）
　　作图步骤
3 _3 z) }3 y, n2 X$ y　　（1）在△ABC平面上任作一水平线BD和正平线AE。
) }3 n' s1 c  h: w# c" T2 l　　（2）自K点向BD、AE引垂线，即作kl⊥bd, kˊlˊ⊥aˊeˊ,得垂线KL。
　　（3）过KL作辅助面P,求出垂线与平面的交点即垂足F。
　　（4）用直角三角形法求出实长K1f,则K1f即为所求。

' S" T% Q5 S- N3 D+ V! h& f6 o3 g+ n图4-19
5 b( M" \! P2 e' v- U. C$ Q) t　　例2：求A点到平面P的距离（图4-20a）
) l6 |% Z5 p9 }" K# c　　作图步骤：
; Y' ?$ I4 j! h　　（1） 作AK┴P
　　（2） 过AK作正垂辅助面Q
8 `( B  }3 H  Y/ p　　（3） 求平面P、Q的交线MN
* Y# T/ N" z9 T　　（4） 求MN与AK的交点K
　　（5） 求AK实长KA1
! r9 P$ {! n  w% v
图 4-20
3 T6 ]. W6 O" D# k　　例3 已知一个过点A的法线平面（N为法线），试将该平面转换成由两条相交直线表示的平面（4-21a）
　　解
　　作图步骤（图4-21b）
　　（1）过点A作水平线AK,使ak⊥n;
2 f' `) C, r$ |/ b  z3 v$ U4 G( [+ A　　（2）过点K作正平线KL,使kˊlˊ⊥nˊ;
　　（3）两相交直线KA、KL即为所求。

图4-21
2 F( C5 `& i8 E1 l" o& w8 l0 j8 Q4 ]　　2 平面与平面垂直
/ y! n3 z5 N, R) v  G　　几何条件：如果一直线垂直于一平面，则通过此直线的所有平面都垂直于该平面。反之，如果两平面互相垂直，则自第一个平面上的任意一点向第二个平面所作的垂线，一定在第一个平面上。（图4-22）
  R% U) C1 p/ w  m( K$ H- X, M
图4-22                  图4-23
　　例 1 试过直线EF作一平面垂直于平面ABCD(图4-23)
　　解
　　作图步骤 （1）从直线EF上的任意一点E向平面ABCD引垂线EH;
　　（2）则平面FEH垂直于平面ABCD,即为所求。
6 c  K& o; V+ M: u" O# h　　例 2 试判断两平面△ABC、△DEL是否相互垂直（图4-24）
　　解
　　分析 根据两平面相互垂直的条件检查
' I; g) P6 A  v9 j1 K　　作图步骤
　　（1）自△DEL上任意一点，如点E作直线EF垂直于△ABC；
　　（2）在EF上除点E外，任取一点F,检查F点是否在平面△DEL上。由图4-24可以看出，点F不在平面△DEL上，所以两平面不垂直。
# w, J! j2 w) Y% E) z" V9 m. {
图4-24
3.　两一般位置直线垂直
　　作图依据：一直线垂直于一平面，则这条直线垂直于一平面，则这条直线垂直该平面上的所有直线。
　　例 试过A点作一条直线，使其与直线BC垂直相交（图4-25a）
: a; e/ e5 O$ |# F! j$ h　　解
　　分析 由于BC为一般位置直线，过点A与BC垂直相交的直线也是一般位置直线。所求直线必在过点A且与直线BC垂直的平面内，该平面与直线BC的交点和点A的连线，即为所求（图4-25b）
  `$ G) Z0 W  C* M/ B% s! w　　作图步骤 （图4-25c）:
　　（1） 过点A作水平线AD⊥BC,作正平线AE⊥BC;
; a+ d( S# C, j; O  Y　　（2） 求直线BC与平面（AD、AE确定）的交点K(k,kˊ);
　　（3） 连接A、K,则AK(ak,aˊkˊ),即为所求。
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图4-25 两一般位置直线互相垂直【MechNet】
3 u, U. p- `1 Y! |; ]文章关键词： 直线