直关系--直线与平面以及两平面的相对位置

lijihua2000008

1.直线与平面垂直
! m+ O8 M# v) \0 W) E$ p2 y$ k　　几何条件：如果一直线垂直于平面上的两条相交直线，则此直线垂直于该平面。
6 F" N5 E& Z) d# A　　反之，如果一直线垂直于一平面，则此直线垂直于该平面上的一切直线。
　　投影：若一直线的水平投影垂直于平面上水平线的水平投影，直线的正面投影垂直于平面上正平线的正面投影，则该直线必垂直于此平面。反之，若一直线垂直于一个平面，则它的水平投影一定垂直于平面是水平线的水平投影，它的正面投影一定垂直于平面上正平线的正面投影，它的侧面投影一定垂直于平面上侧平线的侧面投影。
% I! h: ]- f* Z! M8 `& m6 r2 i
. t0 U- v" U0 E. j0 |　　如图4-18所示，AB和AC分别是△ABC平面上的水平线和正平线，ad⊥ab,
　　aˊdˊ⊥aˊcˊ,则直线AD垂直于平面△ABC。
　　例1 试求点K到△ABC△ABC平面的距离（图4-19a）
　　解
　　分析 求点到平面的距离，需自该点向平面做垂线，并求出垂线与平面的交点，然后确定该点到垂足之间线段的实长。（图4-19b,4-19c）
# h3 S$ O8 F9 k　　作图步骤
　　（1）在△ABC平面上任作一水平线BD和正平线AE。
3 K! K+ y1 U+ o& t　　（2）自K点向BD、AE引垂线，即作kl⊥bd, kˊlˊ⊥aˊeˊ,得垂线KL。
　　（3）过KL作辅助面P,求出垂线与平面的交点即垂足F。
; z" t: a; q; ]) c! ^+ v　　（4）用直角三角形法求出实长K1f,则K1f即为所求。

9 a9 `' C8 l  F# {; |- g1 E图4-19
0 s! l4 B4 N1 n& V; s+ H& `7 ~2 v　　例2：求A点到平面P的距离（图4-20a）
2 q" S' ^0 g; e& [5 _; H+ C　　作图步骤：
% ^5 |  d% {/ [' a- o" m+ }　　（1） 作AK┴P
　　（2） 过AK作正垂辅助面Q
2 k' r+ F* K- g  w6 s+ n9 e　　（3） 求平面P、Q的交线MN
　　（4） 求MN与AK的交点K
4 y5 v% ?/ Y1 ^4 J/ S　　（5） 求AK实长KA1
( ]2 k* M2 R* y, i0 T
图 4-20
　　例3 已知一个过点A的法线平面（N为法线），试将该平面转换成由两条相交直线表示的平面（4-21a）
　　解
% ~. I- h2 l* ?　　作图步骤（图4-21b）
" L2 y2 c# E4 f　　（1）过点A作水平线AK,使ak⊥n;
　　（2）过点K作正平线KL,使kˊlˊ⊥nˊ;
( U5 V$ T- Q# U# B) S　　（3）两相交直线KA、KL即为所求。

图4-21
　　2 平面与平面垂直
　　几何条件：如果一直线垂直于一平面，则通过此直线的所有平面都垂直于该平面。反之，如果两平面互相垂直，则自第一个平面上的任意一点向第二个平面所作的垂线，一定在第一个平面上。（图4-22）

图4-22                  图4-23
# ~  d' y0 R/ z　　例 1 试过直线EF作一平面垂直于平面ABCD(图4-23)
　　解
　　作图步骤 （1）从直线EF上的任意一点E向平面ABCD引垂线EH;
　　（2）则平面FEH垂直于平面ABCD,即为所求。
　　例 2 试判断两平面△ABC、△DEL是否相互垂直（图4-24）
+ g5 a+ h' S9 a# q' Z( ]　　解
　　分析 根据两平面相互垂直的条件检查
8 @: h8 e7 R8 T3 [6 ?- O　　作图步骤
　　（1）自△DEL上任意一点，如点E作直线EF垂直于△ABC；
　　（2）在EF上除点E外，任取一点F,检查F点是否在平面△DEL上。由图4-24可以看出，点F不在平面△DEL上，所以两平面不垂直。

图4-24
3.　两一般位置直线垂直
! K4 g# G5 F2 P; M　　作图依据：一直线垂直于一平面，则这条直线垂直于一平面，则这条直线垂直该平面上的所有直线。
$ t8 K6 S/ J+ t3 W5 N　　例 试过A点作一条直线，使其与直线BC垂直相交（图4-25a）
9 k& S) Y, p) A7 E　　解
, K7 [5 Y" P7 {/ s　　分析 由于BC为一般位置直线，过点A与BC垂直相交的直线也是一般位置直线。所求直线必在过点A且与直线BC垂直的平面内，该平面与直线BC的交点和点A的连线，即为所求（图4-25b）
　　作图步骤 （图4-25c）:
2 _. Z4 U  p! W  Z　　（1） 过点A作水平线AD⊥BC,作正平线AE⊥BC;
  p$ M; R& p% i, T4 E　　（2） 求直线BC与平面（AD、AE确定）的交点K(k,kˊ);
　　（3） 连接A、K,则AK(ak,aˊkˊ),即为所求。

图4-25 两一般位置直线互相垂直【MechNet】
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