直关系--直线与平面以及两平面的相对位置

lijihua2000008

1.直线与平面垂直
　　几何条件：如果一直线垂直于平面上的两条相交直线，则此直线垂直于该平面。
& n  P- N9 z  g　　反之，如果一直线垂直于一平面，则此直线垂直于该平面上的一切直线。
' L+ l& T3 Q3 ?  Y. h% ]" t. H6 a　　投影：若一直线的水平投影垂直于平面上水平线的水平投影，直线的正面投影垂直于平面上正平线的正面投影，则该直线必垂直于此平面。反之，若一直线垂直于一个平面，则它的水平投影一定垂直于平面是水平线的水平投影，它的正面投影一定垂直于平面上正平线的正面投影，它的侧面投影一定垂直于平面上侧平线的侧面投影。

" c8 |: g/ A, x3 M　　如图4-18所示，AB和AC分别是△ABC平面上的水平线和正平线，ad⊥ab,
- Q  s9 A; F# U% L0 W+ F; {. t　　aˊdˊ⊥aˊcˊ,则直线AD垂直于平面△ABC。
　　例1 试求点K到△ABC△ABC平面的距离（图4-19a）
: f0 q# p+ V! F4 i1 y　　解
0 a; {: b3 ^! m$ J* k6 b, v% ?: j　　分析 求点到平面的距离，需自该点向平面做垂线，并求出垂线与平面的交点，然后确定该点到垂足之间线段的实长。（图4-19b,4-19c）
' b! k" n6 ?) t6 Z　　作图步骤
+ Q1 t! ]7 ], k& `9 S7 W9 m　　（1）在△ABC平面上任作一水平线BD和正平线AE。
; k7 e" f- z# R4 c$ y. `2 l" j2 Z5 f　　（2）自K点向BD、AE引垂线，即作kl⊥bd, kˊlˊ⊥aˊeˊ,得垂线KL。
# I) e: i3 m4 @$ C: k/ C　　（3）过KL作辅助面P,求出垂线与平面的交点即垂足F。
　　（4）用直角三角形法求出实长K1f,则K1f即为所求。

0 o& P9 K5 U0 s% r! W2 t图4-19
　　例2：求A点到平面P的距离（图4-20a）
7 b& s9 l9 e0 ~, ^0 F1 j3 G: i6 T9 h* B　　作图步骤：
　　（1） 作AK┴P
　　（2） 过AK作正垂辅助面Q
9 V5 h# `  ?4 Q. q$ g7 ~　　（3） 求平面P、Q的交线MN
　　（4） 求MN与AK的交点K
　　（5） 求AK实长KA1

' E# L, O7 o+ N3 b9 [图 4-20
　　例3 已知一个过点A的法线平面（N为法线），试将该平面转换成由两条相交直线表示的平面（4-21a）
　　解
　　作图步骤（图4-21b）
　　（1）过点A作水平线AK,使ak⊥n;
' Y1 X# T% n, n% N　　（2）过点K作正平线KL,使kˊlˊ⊥nˊ;
　　（3）两相交直线KA、KL即为所求。

! C. E, W. `' _# I% x图4-21
3 f5 @$ @" I9 y　　2 平面与平面垂直
$ B# J. Q  J& s8 D0 @　　几何条件：如果一直线垂直于一平面，则通过此直线的所有平面都垂直于该平面。反之，如果两平面互相垂直，则自第一个平面上的任意一点向第二个平面所作的垂线，一定在第一个平面上。（图4-22）
* U8 j$ ], a- B5 T4 }( U) [/ _
$ t! W* |9 r+ _0 S+ B  s图4-22                  图4-23
　　例 1 试过直线EF作一平面垂直于平面ABCD(图4-23)
　　解
0 G5 a2 q' b% {　　作图步骤 （1）从直线EF上的任意一点E向平面ABCD引垂线EH;
　　（2）则平面FEH垂直于平面ABCD,即为所求。
7 o7 H" L/ {5 Z' O* u　　例 2 试判断两平面△ABC、△DEL是否相互垂直（图4-24）
　　解
　　分析 根据两平面相互垂直的条件检查
3 V" B/ V% n' l3 |　　作图步骤
- q5 I$ F" L- d# ~. @& @　　（1）自△DEL上任意一点，如点E作直线EF垂直于△ABC；
2 E( y6 s6 K3 a3 m" E& @　　（2）在EF上除点E外，任取一点F,检查F点是否在平面△DEL上。由图4-24可以看出，点F不在平面△DEL上，所以两平面不垂直。

% A  L) j- [; e, t图4-24
- p, ]4 _! Y; r7 k/ Y) J3.　两一般位置直线垂直
　　作图依据：一直线垂直于一平面，则这条直线垂直于一平面，则这条直线垂直该平面上的所有直线。
* X' o3 f! _: A8 `! V4 K: V　　例 试过A点作一条直线，使其与直线BC垂直相交（图4-25a）
　　解
　　分析 由于BC为一般位置直线，过点A与BC垂直相交的直线也是一般位置直线。所求直线必在过点A且与直线BC垂直的平面内，该平面与直线BC的交点和点A的连线，即为所求（图4-25b）
, s8 J$ P- I, O# i' E: i　　作图步骤 （图4-25c）:
　　（1） 过点A作水平线AD⊥BC,作正平线AE⊥BC;
　　（2） 求直线BC与平面（AD、AE确定）的交点K(k,kˊ);
　　（3） 连接A、K,则AK(ak,aˊkˊ),即为所求。
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图4-25 两一般位置直线互相垂直【MechNet】
7 R* D( h* q, k+ r! T9 C文章关键词： 直线