直关系--直线与平面以及两平面的相对位置

lijihua2000008

1.直线与平面垂直
　　几何条件：如果一直线垂直于平面上的两条相交直线，则此直线垂直于该平面。
! ^" W. Z% E( [8 `4 q　　反之，如果一直线垂直于一平面，则此直线垂直于该平面上的一切直线。
! z8 L" J' q9 @- R　　投影：若一直线的水平投影垂直于平面上水平线的水平投影，直线的正面投影垂直于平面上正平线的正面投影，则该直线必垂直于此平面。反之，若一直线垂直于一个平面，则它的水平投影一定垂直于平面是水平线的水平投影，它的正面投影一定垂直于平面上正平线的正面投影，它的侧面投影一定垂直于平面上侧平线的侧面投影。

; H2 G# Z- t9 Y" ?/ Q: P1 K　　如图4-18所示，AB和AC分别是△ABC平面上的水平线和正平线，ad⊥ab,
　　aˊdˊ⊥aˊcˊ,则直线AD垂直于平面△ABC。
　　例1 试求点K到△ABC△ABC平面的距离（图4-19a）
　　解
　　分析 求点到平面的距离，需自该点向平面做垂线，并求出垂线与平面的交点，然后确定该点到垂足之间线段的实长。（图4-19b,4-19c）
　　作图步骤
. j) N8 w* I4 T/ O　　（1）在△ABC平面上任作一水平线BD和正平线AE。
　　（2）自K点向BD、AE引垂线，即作kl⊥bd, kˊlˊ⊥aˊeˊ,得垂线KL。
* S+ |4 K$ Y9 z/ j0 q2 O2 q- z　　（3）过KL作辅助面P,求出垂线与平面的交点即垂足F。
　　（4）用直角三角形法求出实长K1f,则K1f即为所求。

图4-19
　　例2：求A点到平面P的距离（图4-20a）
% t) I, z: Y- O# ^" H　　作图步骤：
　　（1） 作AK┴P
3 M6 d8 T2 L0 N0 Y9 p& _0 M  I　　（2） 过AK作正垂辅助面Q
+ F  R; A5 m: B" v% I  v" V9 O# q　　（3） 求平面P、Q的交线MN
　　（4） 求MN与AK的交点K
. F# J5 z! ~7 p2 ]. O9 V　　（5） 求AK实长KA1

图 4-20
9 Z2 k" ~8 ?' \/ n. {9 q　　例3 已知一个过点A的法线平面（N为法线），试将该平面转换成由两条相交直线表示的平面（4-21a）
　　解
" {; M7 t. i5 c, _' |0 H　　作图步骤（图4-21b）
+ B( o1 _) l' l, I9 |+ y　　（1）过点A作水平线AK,使ak⊥n;
　　（2）过点K作正平线KL,使kˊlˊ⊥nˊ;
　　（3）两相交直线KA、KL即为所求。

图4-21
( e: f8 d- O2 a! j2 t3 {3 H+ ]) h9 l　　2 平面与平面垂直
6 B$ _7 L4 D. b, Q8 z+ l　　几何条件：如果一直线垂直于一平面，则通过此直线的所有平面都垂直于该平面。反之，如果两平面互相垂直，则自第一个平面上的任意一点向第二个平面所作的垂线，一定在第一个平面上。（图4-22）
1 t8 k7 s: d) m. ]* U
7 h/ ~0 P6 D4 \3 s6 ?5 P) O图4-22                  图4-23
　　例 1 试过直线EF作一平面垂直于平面ABCD(图4-23)
　　解
% q" @. s6 z6 X9 W　　作图步骤 （1）从直线EF上的任意一点E向平面ABCD引垂线EH;
　　（2）则平面FEH垂直于平面ABCD,即为所求。
　　例 2 试判断两平面△ABC、△DEL是否相互垂直（图4-24）
% s% t" J% R; b1 L. A- R$ |6 d　　解
' G# v4 W+ a. N/ M3 \　　分析 根据两平面相互垂直的条件检查
　　作图步骤
　　（1）自△DEL上任意一点，如点E作直线EF垂直于△ABC；
5 C7 b$ q. p% y  K2 t　　（2）在EF上除点E外，任取一点F,检查F点是否在平面△DEL上。由图4-24可以看出，点F不在平面△DEL上，所以两平面不垂直。

7 P6 {" U/ B3 W* E. h0 \图4-24
9 i9 D, U/ p# I2 A3.　两一般位置直线垂直
# W- Q3 S) ]  E) A. ~8 _: d7 n6 d7 X　　作图依据：一直线垂直于一平面，则这条直线垂直于一平面，则这条直线垂直该平面上的所有直线。
! L9 r6 K. D$ V( L+ b　　例 试过A点作一条直线，使其与直线BC垂直相交（图4-25a）
! A+ X1 Y1 l  a. \& L& ~/ M) W9 _　　解
1 @* [9 k* v% B$ n2 ^　　分析 由于BC为一般位置直线，过点A与BC垂直相交的直线也是一般位置直线。所求直线必在过点A且与直线BC垂直的平面内，该平面与直线BC的交点和点A的连线，即为所求（图4-25b）
8 D* K0 M% k- Y* Y　　作图步骤 （图4-25c）:
　　（1） 过点A作水平线AD⊥BC,作正平线AE⊥BC;
　　（2） 求直线BC与平面（AD、AE确定）的交点K(k,kˊ);
" y+ W; S) I4 P9 ]( L　　（3） 连接A、K,则AK(ak,aˊkˊ),即为所求。
2 h, J: L/ C% W
: H2 B/ t! u4 r0 C& H: J图4-25 两一般位置直线互相垂直【MechNet】
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