梯形花键滚刀及其齿顶圆弧的设计

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图1 七齿梯形花键
1 问题的提出
某公司向美国用户提供的多种OEM 样件常因非渐开线花键齿根圆角半径达不到要求而无法得到批量供货订单。对于一些需要滚齿加工的零件，由于齿根圆角的加工问题无法解决，不得不以昂贵的价格从国外进口刀具。如加工图1 所示的七齿梯形花键，其中ra=59.728mm，rf=50.419±0.125mm，rh=53.34mm，Sh=22.504mm，ri=1.575±0.25mm，e=1.709mm，b=16.85°，h=28.15°，rf=42.742mm。若用按常规滚刀设计方法设计的滚刀进行加工，当工件齿根圆直径取中差时，齿根圆角仅为1.03mm，不能满足用户要求。为此，本文介绍一种新的滚刀设计方法，用该方法设计的滚刀可滚切加工齿根带有定值圆角且齿根圆直径有公差要求的梯形花键。
; k! q8 o" ?/ l+ P' ?4 a2 设计原理
滚刀加工梯形花键的过程实质上是滚刀与梯形花键展成啮合的过程。因此，设计梯形花键滚刀时应遵循啮合原理。为使问题简化，我们按平面啮合原理来设计滚刀。
/ ]( T; `, _% y4 o6 w5 A1 R3 梯形花键滚刀的设计方法
节圆半径的确定
8 P0 J# J, B0 b2 L' u6 {  z9 f与直边花键或三角花键滚刀的设计方法相同，梯形花键滚刀的设计也应首先确定合理的工件节圆半径。如节圆半径选取不当，则可能造成工件齿顶切不出来或工件齿根过渡曲线太高的问题。对于齿顶有倒角的梯形花键，其节圆半径应按下式计算：
2 j7 a5 S& H1 G3 ?) p( b1 S式中：rj——工件节圆半径
ra——工件齿顶圆半径
e——倒角沿齿侧直线方向的长度
  Z$ j3 ~8 Y$ z+ b: T计算出的节圆半径应满足ra≥rj≥rf，为防止工件齿顶切不出来，rj应满足
& y* q0 Q3 C4 l% }0 Mrj≥ (ra2-0.75a2)½式中，a为工件形圆半径，a=rf'sine，rf'和e分别为工件理论内径半径和工件齿槽半角。工件齿槽半角e=(p/Z)+h，Z 和h分别为工件的齿数和齿厚半角。
工件直线部分对应的滚刀齿形设计
工件直线部分对应的滚刀齿形设计方法与常规方法相似，不同的是最大啮合角应按工件直线齿形终点半径计算，而不是按工件齿根圆半径计算，这是因为滚刀齿顶部分增加了圆角的缘故。
' ]0 `$ M; @3 X' ^  \: b0 B) v
图2
; O/ j- b* m& t4 }( [{
XM=-rj(sinax-sinaj)cosax
YM=rj-rj(sinax-sinaj)sinax
: G( [3 B8 `; C3 `式中，aj为工件节圆上的齿形角，aj=arcsin( a/rj)。式(2)即为啮合线方程。
由图2还可得到M点的半径为
" Y; u/ m% B# w( c4 z, _  prM=OM=(Xx2+Yx2)½将式(2)代入上式整理后得
rM=rj(1+sin2aj-sin2ax)½
6 |% N* a/ [/ W9 F( E7 A(3)
将上式变换后可得
cosax=[(rM/rj)2-sin2aj]½
(4)
, v' x3 L& r* }: M在图1中，设H点为已知弦长的圆与工件齿侧直线的交点，F点为工件直线齿形的终点(亦称转变点)。利用式(4)和式(2)就可得出与F点和H点对应的啮合线上点的坐标(XH，YH)和(XF，YF)以及aF。
8 m, L9 V8 P& m/ L1 M) l% R由啮合线上的点求滚刀齿形上的对应点
: U6 G( m; j0 g9 c0 B8 z由啮合原理可知，当工件转过f角后，滚刀同时移动了距离rjf，由此可求出与啮合线上任意点M对应的滚刀齿形上的M0点在X0PY0坐标系中的坐标为
{
, j4 B) @5 o  ?/ i0 ^9 iX0M=rjf+XM
. d7 \" ~* s3 @$ f' LY0M=rj-YM
由图2可知，f=ax-aj，将式(2)代入式(5)可得
{
X0M=rj(ax-aj)-rj(sinax-sinaj)cosax
Y0M=rj(sinax-sinaj)sinax
. G+ Q& J! _$ ]$ v+ ?前面已算出了F点和H点在啮合线上对应点的坐标，因此可由式(5)或式(6)得到滚刀齿形上对应点F0和H0的坐标(X0F，Y0F)和(X0H，Y0H)。
由F0点、H0点和P点的坐标可求出替代滚刀齿形的圆弧的中心坐标(Xa，Ya)及半径Ra。

" N+ k% R0 P8 T图3
  y8 O" w1 [. \4 h8 g加工工件齿根圆角的滚刀齿形设计
滚刀滚切工件时，滚刀的刀尖角必须在工件齿根形成过渡曲线，如将这段过渡曲线近似看作圆弧，则该近似圆弧的半径往往偏小而达不到加工要求；如果调节节圆半径，又受到工件齿顶倒角值和齿根转变点F点直径的限制，调节幅度有限而效果甚微。
如将滚刀齿顶作成圆角而不是尖角，则效果可大为改观。此时，在工件齿根形成了过渡曲线的等距线，该等距线的近似圆弧半径增大了许多。滚刀齿顶圆角半径的合理取值可通过图3进行定量分析。由图3可知
$ v2 M% J) G1 Q) j1 Za1=arctan(
& O7 U1 f2 q3 a5 G; LYOF-Ya
)
1 ]- n, r& C" }4 k& Y; |Xa-XOF
由图3还可看出
rc(1-sina1)=hao-YOF因此可得
; h! Z; i" e$ J' D$ P. grc=
hao-YOF
1-sina1
4 \" P9 w  U; s8 x/ {, }6 |式中，hao为滚刀齿顶高，可按hao=rj-rf进行计算，其中rf为工件齿根圆半径。a1为中间计算参数，可由式(7)算出。
将式(8)和式(6)加以合并，可得
rc=
rj[1-(sinaF-sinaj)sinaF]-rf
7 a, J0 u& |( S7 `/ T4 ^1-sina1
3 d# s, [7 A& L4 y1 C2 W式中，rc为滚刀齿顶圆角半径，aF为F点啮合角，可将转变点F 的半径代入式(4)算出。
# M9 L! u( r- h! ~$ ]由图3得知，滚刀齿顶圆角的中心点O1的坐标为
{
4 w- a" c0 s% W. g# _. `5 NX01=X0F+rccosa1
Y01=Y0F-rcsina1

/ {  f# F; M7 w2 I( J3 v6 ]确定了滚刀齿顶圆角的半径和圆心坐标后，可按以下方法判断滚刀齿顶是单圆弧还是双圆弧：设Sno为滚刀法向弧齿厚，则Sno应等于工件节圆上齿槽所对应的弧长，即Sno=2rj(e-aj)。由图3中可以看出，如X01