滚切正多边形工件的滚刀齿形设计

李朋

　正多边形零件是工程上常用的工件，一般工厂均采用铣削工艺加工，生产效率低，制品精度差。大批量生产时，可考虑采用滚削工艺以提高生产效率。
8 n7 E1 V. p$ l# i# V" y' O一、设计原理
　　按平面啮合原理求出与工件齿形相共轭的齿条齿形，将该齿条齿形作为滚刀的法向齿形。
　　工件齿形为任意齿形（非渐开线齿形）时，滚刀法向齿形的通用求法可按下述步骤进行（参见图1、图2）：
5 z* Z9 j( [2 G
- L: P- A4 N* j& L图1
1 A4 a  B$ d& R+ s- ^+ v
图2
; e0 B6 a! T/ i$ p: I9 R! ^　　（1）建立工件坐标系xoy及刀具坐标系x0o0y0；
$ B9 ^8 }: {3 F2 `* g7 I" |  P, j7 F; M　　（2）确定共轭时的节圆半径rj；
  }' }& f8 @# {* h! J　　（3）写出工件的齿形表达式y＝f（x）；
　　（4）写出滚刀的法向齿形（基准齿条齿形）表达式
/ f4 A( \. |- W. L+ j
; [7 z8 s6 ?+ O3 h式中　φ＝π／2－α－δ
（3）
9 r9 x1 @7 a/ d) N2 M0 n7 e- y　　　cosα＝（xcosδ＋ysinδ）／rj
- y+ G2 j7 a3 x6 {（4）
7 f! d9 y) i- f7 y$ T4 P' J  i　　　tgδ＝dy／dx
（5）
" y8 K% N9 A8 ?4 X% I; Q4 @　　图1中，xoy为工件坐标系，随工件转动。x0o0y0为刀具坐标系，随刀具平移。x1o1y1为参考坐标系，静止不动。图2中，M点为工件齿形上的任意一点，A点为M点的法线与节圆的交点，φ为M点的转角（转过φ后法线MA将通过节点P），α为变角，等于∠AOB，δ为M点的切线与x轴的夹角。
二、设计步骤
　　1．引入各坐标系
　　各坐标系见图3所示。
( t! P* m/ T, y2 X) S
) l7 H0 \" h$ K- F图3
. s1 y8 Y. l- v' r4 G% l+ H　　2．确定节圆半径rj
* G8 e; q( A& a# _　　节圆半径的选择十分重要，选择不当，所求共轭齿形会出现反折尖点，从而产生对工件齿形的根切或顶切；节圆半径取得过小，所求共轭齿形有一部分可能不存在。对于直边工件齿形，其最小节圆半径为
0 B; }1 k& i, e, X5 `4 k
（6）
/ N% t" Z4 u# ], M5 E) l5 [式中，ra为工件外圆半径，此时即为正n边形的外接圆半径；a为形圆半径，此时即为正n边形的内切圆半径。为了计算方便，一般可将节圆取在其外圆上，故
' D9 X5 p- d* P( V; J0 Yrj＝ra
（7）
　　3．写出工件齿形方程
7 R! p& v6 d, x! _( `# l$ D# f　　图3中，CD为正n边形的一条边，E为CD的中点，EO为正n边形的内切圆半径，令EO＝a，则工件的齿形表达式为
' q( d' ^* w3 {: b8 {　　4．求刀具齿形公式
: A6 ?6 G  Z# t: E　　①按式（5）得　
　　②按式（4）得　cosα＝（xcosδ＋ysinδ）／rj＝x／rj＝x／ra，即
% _  o1 z6 h5 W/ z9 ]% C' O( Ecosα＝x／ra
（9）
' z3 R. m# v4 b" t/ c+ J+ l  P　　③按式（3）得

（10）
　　将（7）、（8）、（10）式代入（1）、（2）式得

（11）
3 E( L, f* u2 f* K6 t6 T. Q
+ U: H( A6 ]* a, w1 O; q: L（12）
　　α的变化范围是从D点到E点（见图3），故当α在D点时，据式（9）得
cosαmin＝xD／ra＝ED／ra＝（l／2）／ra
（13）
  q# `: E  D6 ?" n: Z* B　　式中l为正n边形的边长。
　　当α在E点时，据式（9）得　　
; {+ C2 P$ u  v' Wcosαmax＝xE／ra＝0
αmax＝90°
! n+ v- D. ?) `7 U0 `0 m　　这样，在αmin～90°范围内，选定不同的α后即可确定不同的x，代入式（1）、（2）即可得出整个滚刀的法向齿形坐标。
1 I( f% R4 G: ]/ h) S　　综上所述，当已知正n边形的边数n，边长l，外接圆半径ra，内切圆半径a，则正n边形滚刀的法向齿形可按以下各公式求出：
7 D, ?: P0 @. _  L, vx0＝xsinα－acosα＋ra（90°－α）π／180°
（14）
1 C  B) f( t: \  H1 c& d( oy0＝ra－xcosα－asinα
（15）
cosα＝x／ra　（x＝racosα，x＝0～l／2）
（16）
1 j5 Z9 Q8 u) {0 m; B6 y% Gαmin＝arccos（l／2ra）
（17）
9 M  D8 E* {! o! Fαmax＝90°
（18）
法向齿距Pn＝2πra／n
0 P( z- T" v$ j1 _9 U+ C  O（19）
三、滚刀计算实例
' S, @; m: c4 \, r4 B　　已知正六边形工件如图4所示。

# J, `! y6 m" U/ ~2 S. K8 o; O1 B! c图4
　　则　ra＝20
　　a＝35．47／2＝17．735（按中间值计算）
6 `" j, ^& ~+ I, X7 d% |# b　　
　　arccosαmin＝（l／2）／ra＝62．46765222°
- J+ F2 C( G# K' u+ u/ r3 O　　αmax＝90°
　　x＝0～9．244986479
# ?: j; |1 J: M9 w　　将α在αmin～90°范围内求出相对应的x后代入式（14）、（15），即可得出刀具法向齿形坐标（见下表）和滚刀的齿形图（见图5）。
表
α
, E, l, X9 x$ \9 _" {. Tαmin
7 v, I. C. O: S# O8 e64°
) K1 |0 }7 _' _( o. m0 }5 c65．5°
. P. R9 g/ w2 I# [0 [$ u…
: }" t: A" F5 l( ~- W71．5°
…
5 e- I* G/ Y9 P+ Q9 u86．5°
4 a6 C2 ~4 ?' W, I: |5 f88°
89°
$ W& x6 H$ v6 N* n90°
2 R% U* R  v" w4 w8 A+ a7 t: v0 ]' qx＝（15）式
; {3 I. ^5 L; p) t. W9．245
- @" ~# z/ I2 O1 f! A8．767
# M6 K5 C3 E- z8．294
…
6．346
5 q" w% y) Q7 d/ }…
1．221
0．698
$ E& Q  E( t( F+ o+ ^* J0 e0．349
0
$ i- r7 T9 w2 T0 Px0＝（13）式
9．610
, h$ ^$ T4 c% v7 H6 M9．181
8．745
/ ~: U* O* a4 h…
; C; f& X  [/ n3 a) S6．848
…
" k+ B9 `3 d5 m+ l+ e) z5 p1．358
$ I/ g2 ?/ }; |, y# u$ ]4 a% N9 d0．777
4 B5 n' l( G9 A* O. A0．388
) \/ u( q6 S4 N+ [: `0
% C0 e# V. E; c+ B+ K+ sy0＝（14）式
/ m5 u! l* i+ D) ]0
0．217
, I* d7 Z. i" d2 U+ b0．422
…
: b' t- c& e- V- t& w* T* f& N9 b1．168
…
1 |6 H0 r' q' _8 A- W- U2．224
$ v. f! ^6 I0 r; v/ t1 h( i2．251
' f) c# V! {0 [* Q! d2．262
# [( C5 e/ `' F2．265
) ~: |' n7 }$ f( {$ Y  h" a& E; X滚刀法向齿距Pn＝2πrj／n＝2πra／n＝2π×20／6＝20．944

图5
" O$ U9 ^8 o3 V) |! j% Y　　图5中，x0轴以上节线为曲线齿形，x0轴以下节线取直线齿形（不参加展成切削），其近似齿形角β可按αmin及邻近α处的x0，y0坐标计算得出。本例取αmin及α＝65.5°的坐标值，则
arctgβ／Δx0／Δy0＝9.610－8.745／0.422＝64°
: r0 A* X; h  E1 q: g- J$ B　　全齿深在y0、αmax基础上加上0.2～适量的间隙量（以保证滚刀齿底牙宽不至于太尖为原则），本例加0.25mm，故全齿深取2.265＋0．25＝2.515mm。
0 P7 `9 B5 ?8 J1 y　　因工艺需要，须给出代用圆弧参数，由于齿形对称于y0轴，故取代用圆弧圆心位于y0轴上，令代用圆弧半径为Ra，坐标距离为xa，ya，则根据几何关系可得弓形高EO0为

即
$ o7 ~: [1 A) q" X  L( y
0 ~7 N9 `" z: t: `经整理得

                               
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  L) J1 }5 u! U% \' [, |" l3 v) c（20）
xa＝x0αmin
- W0 V  |4 T" z& u9 p（21）
7 Y; K) \0 Y. t4 hya＝Ra－y0αmax
! i* X' a  b& J2 d（22）
　　本例中y0αmax＝2．265，x0αmin＝9．610，代入式（20）和式（21），得出的相关参数为：Ra＝21．519mm，xa＝9．610，ya＝19．254。【MechNet】
4 d7 i% ^* f8 I文章关键词： 刀齿