滚切正多边形工件的滚刀齿形设计

李朋

　正多边形零件是工程上常用的工件，一般工厂均采用铣削工艺加工，生产效率低，制品精度差。大批量生产时，可考虑采用滚削工艺以提高生产效率。
. l/ P  }6 A  R一、设计原理
　　按平面啮合原理求出与工件齿形相共轭的齿条齿形，将该齿条齿形作为滚刀的法向齿形。
! B, i7 _! c  i4 f: P7 ?. g　　工件齿形为任意齿形（非渐开线齿形）时，滚刀法向齿形的通用求法可按下述步骤进行（参见图1、图2）：
% y: d, B' |! @8 d- n
" d3 O4 s! m3 y: c图1
5 f: u4 x* l! L6 k# U
图2
- O: ~. V8 r# E% n/ e* C　　（1）建立工件坐标系xoy及刀具坐标系x0o0y0；
" I8 q& G1 ~1 M% S4 h/ C0 D　　（2）确定共轭时的节圆半径rj；
7 m9 z1 t" I: ]4 I9 d% o0 h　　（3）写出工件的齿形表达式y＝f（x）；
4 \6 E, u/ `- C, K) _　　（4）写出滚刀的法向齿形（基准齿条齿形）表达式

, U/ J* A- T3 d1 J& v式中　φ＝π／2－α－δ
（3）
　　　cosα＝（xcosδ＋ysinδ）／rj
# C, V8 V9 M; d# b- t6 v（4）
　　　tgδ＝dy／dx
（5）
　　图1中，xoy为工件坐标系，随工件转动。x0o0y0为刀具坐标系，随刀具平移。x1o1y1为参考坐标系，静止不动。图2中，M点为工件齿形上的任意一点，A点为M点的法线与节圆的交点，φ为M点的转角（转过φ后法线MA将通过节点P），α为变角，等于∠AOB，δ为M点的切线与x轴的夹角。
二、设计步骤
6 p( J7 X* C9 V: u! X　　1．引入各坐标系
: s: _8 j, k( F- `2 U$ B9 {+ h　　各坐标系见图3所示。
/ v5 G; T7 y$ p+ f
" Y5 T+ S3 X0 Z3 _图3
　　2．确定节圆半径rj
　　节圆半径的选择十分重要，选择不当，所求共轭齿形会出现反折尖点，从而产生对工件齿形的根切或顶切；节圆半径取得过小，所求共轭齿形有一部分可能不存在。对于直边工件齿形，其最小节圆半径为
* f! w) G( \/ W# l
4 _/ c, d5 ~& K3 M（6）
( p. @$ z. q( d" j7 i% |式中，ra为工件外圆半径，此时即为正n边形的外接圆半径；a为形圆半径，此时即为正n边形的内切圆半径。为了计算方便，一般可将节圆取在其外圆上，故
rj＝ra
$ k2 E# }9 d5 \* [" q; L（7）
. ^; h/ K6 K# m　　3．写出工件齿形方程
2 |  g! r/ C1 x# p! q, |! z　　图3中，CD为正n边形的一条边，E为CD的中点，EO为正n边形的内切圆半径，令EO＝a，则工件的齿形表达式为
　　4．求刀具齿形公式
　　①按式（5）得　
　　②按式（4）得　cosα＝（xcosδ＋ysinδ）／rj＝x／rj＝x／ra，即
- k; m, l& ?" |5 Y" g/ U  Ecosα＝x／ra
) J5 O7 ^' o% Y1 z0 a/ y（9）
　　③按式（3）得
  F- n5 G: c* l9 b5 F% M
' h7 ?+ w% K/ r4 O( k) z（10）
　　将（7）、（8）、（10）式代入（1）、（2）式得
2 O. L5 U% R3 j9 C
; Z$ ?9 j% \$ s; O2 q( x（11）
2 E* X0 B! |) }) t, H' i
- l/ O) W& @" }) |% g1 `（12）
　　α的变化范围是从D点到E点（见图3），故当α在D点时，据式（9）得
cosαmin＝xD／ra＝ED／ra＝（l／2）／ra
（13）
5 Z% A5 ^/ i& `- c. r　　式中l为正n边形的边长。
9 x7 {! L6 A  t" P　　当α在E点时，据式（9）得　　
9 \6 j7 j! L0 Q4 g" Tcosαmax＝xE／ra＝0
) V6 j: b/ ?1 p, n+ Y6 H1 Pαmax＝90°
& G  s0 O% j+ Z( _& k: E0 C　　这样，在αmin～90°范围内，选定不同的α后即可确定不同的x，代入式（1）、（2）即可得出整个滚刀的法向齿形坐标。
5 g) g+ I7 L) H( V　　综上所述，当已知正n边形的边数n，边长l，外接圆半径ra，内切圆半径a，则正n边形滚刀的法向齿形可按以下各公式求出：
2 }2 R( i5 ?" D) |  a! kx0＝xsinα－acosα＋ra（90°－α）π／180°
4 Q: v% d4 w( Q# o' T( D（14）
y0＝ra－xcosα－asinα
（15）
% |2 t$ C+ U: q! i/ _( q# mcosα＝x／ra　（x＝racosα，x＝0～l／2）
& e. P+ n3 C% B6 M2 y8 ]6 C（16）
αmin＝arccos（l／2ra）
（17）
) o" D( c2 c+ U3 M  ~αmax＝90°
$ p' P6 D5 r' W" H5 a; P（18）
2 V2 K$ o* o' b; W法向齿距Pn＝2πra／n
  v9 W% Q# Y* @5 j$ U（19）
. q$ t  j5 X$ Q5 b( u+ F三、滚刀计算实例
　　已知正六边形工件如图4所示。

: s+ N" W( m; M7 T图4
* b& b8 t0 P" z: E) ]$ x5 z　　则　ra＝20
　　a＝35．47／2＝17．735（按中间值计算）
1 r7 r/ L7 Z# z, x$ C　　
+ R8 q7 b3 g) O" N; w# V' [　　arccosαmin＝（l／2）／ra＝62．46765222°
　　αmax＝90°
　　x＝0～9．244986479
, p1 M: F3 w# D/ g1 m1 _) i% i　　将α在αmin～90°范围内求出相对应的x后代入式（14）、（15），即可得出刀具法向齿形坐标（见下表）和滚刀的齿形图（见图5）。
! Z: B5 p( j" y- i  s, E, ]表
α
9 A" x# S: [: @; Jαmin
, h0 D% W3 e- h7 i" M5 I. W64°
65．5°
…
- V# d1 s3 k) Q) [" {71．5°
…
86．5°
+ {9 l+ }$ w4 M* M& b) p88°
89°
. Y9 r% a* J7 h% h90°
( a2 _# P9 \: j  ]9 P  Hx＝（15）式
9．245
3 u6 X. E  {- N3 _8．767
8 a/ W9 d9 j, Y+ n8 b8．294
…
6．346
+ d; s% ?, t' ?4 Q# J( p- p…
1．221
$ H( \- Y) ]: L8 d2 j0．698
' t* F! h0 ^: V' z0．349
; {: c3 w' ]* R  ?, J, c7 X0
; g+ c- D- n) I$ f8 W* A, y# X* jx0＝（13）式
1 r1 K" H5 f; f* e3 }9．610
& I" r3 T# V# {4 q4 }9．181
8．745
…
6．848
…
1．358
0．777
, T* u& U2 y9 V* |0 p2 N0．388
0
% B$ @8 N$ a, m  T& P  [y0＝（14）式
0
0．217
2 ^# O% y% r( C9 v9 K: U0．422
…
1．168
5 m" Q" g; P* a, b+ l" j…
) \% p4 y8 M5 g; V5 v  A6 \2．224
2．251
5 B  Y/ I5 t9 u  R3 F' m9 w/ H2．262
/ A" a8 S  W: `7 H% B2．265
滚刀法向齿距Pn＝2πrj／n＝2πra／n＝2π×20／6＝20．944
( h9 t3 {3 A) R4 r# ?( k# p* ?
8 t) _. O( F! B; b6 @. `图5
　　图5中，x0轴以上节线为曲线齿形，x0轴以下节线取直线齿形（不参加展成切削），其近似齿形角β可按αmin及邻近α处的x0，y0坐标计算得出。本例取αmin及α＝65.5°的坐标值，则
! l- `  o# {" F1 F  Tarctgβ／Δx0／Δy0＝9.610－8.745／0.422＝64°
' s) ^/ c& \0 J5 h7 i* C% z+ W　　全齿深在y0、αmax基础上加上0.2～适量的间隙量（以保证滚刀齿底牙宽不至于太尖为原则），本例加0.25mm，故全齿深取2.265＋0．25＝2.515mm。
　　因工艺需要，须给出代用圆弧参数，由于齿形对称于y0轴，故取代用圆弧圆心位于y0轴上，令代用圆弧半径为Ra，坐标距离为xa，ya，则根据几何关系可得弓形高EO0为
$ c8 }; b" f7 H4 w4 z$ k, \1 ?
" m# |7 X4 h% Q即

经整理得

: f5 j2 M9 p) @- V( Q                               
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1 R) o! u2 K+ k% r, G$ M- K2 ]（20）
6 d; L- A; t( Jxa＝x0αmin
7 l1 U0 X' Z% T# [" q. f5 ?# o+ l  W（21）
% [' P* \( p4 W3 @8 i7 }: a; ?ya＝Ra－y0αmax
7 }2 {# k0 f' J* T（22）
　　本例中y0αmax＝2．265，x0αmin＝9．610，代入式（20）和式（21），得出的相关参数为：Ra＝21．519mm，xa＝9．610，ya＝19．254。【MechNet】
文章关键词： 刀齿