滚切正多边形工件的滚刀齿形设计

李朋

　正多边形零件是工程上常用的工件，一般工厂均采用铣削工艺加工，生产效率低，制品精度差。大批量生产时，可考虑采用滚削工艺以提高生产效率。
一、设计原理
　　按平面啮合原理求出与工件齿形相共轭的齿条齿形，将该齿条齿形作为滚刀的法向齿形。
　　工件齿形为任意齿形（非渐开线齿形）时，滚刀法向齿形的通用求法可按下述步骤进行（参见图1、图2）：
* }( ]: S3 y: {+ |3 P5 B
图1
& q& _" j1 g! p3 r/ h, E0 ]( ?! c
图2
; t2 V% H( i* h6 N& i3 H8 g8 ~　　（1）建立工件坐标系xoy及刀具坐标系x0o0y0；
　　（2）确定共轭时的节圆半径rj；
6 t9 K9 F" {7 X! J% v2 Z3 W* n　　（3）写出工件的齿形表达式y＝f（x）；
　　（4）写出滚刀的法向齿形（基准齿条齿形）表达式

式中　φ＝π／2－α－δ
& B# q4 t8 N9 {& E7 X（3）
, P% z9 Z0 g! x　　　cosα＝（xcosδ＋ysinδ）／rj
（4）
9 r- E) e9 v6 n: `0 v' K　　　tgδ＝dy／dx
$ d- Z: O$ f, ~3 {  R/ P* _（5）
8 y+ ^0 M0 L, _+ B+ d　　图1中，xoy为工件坐标系，随工件转动。x0o0y0为刀具坐标系，随刀具平移。x1o1y1为参考坐标系，静止不动。图2中，M点为工件齿形上的任意一点，A点为M点的法线与节圆的交点，φ为M点的转角（转过φ后法线MA将通过节点P），α为变角，等于∠AOB，δ为M点的切线与x轴的夹角。
二、设计步骤
' C" B( g% _2 ]5 r: Z" M( A( H　　1．引入各坐标系
" x% G: D0 y% v* w　　各坐标系见图3所示。

3 r4 f! q$ Y) X' I图3
3 S+ B7 s9 N, }; Y　　2．确定节圆半径rj
　　节圆半径的选择十分重要，选择不当，所求共轭齿形会出现反折尖点，从而产生对工件齿形的根切或顶切；节圆半径取得过小，所求共轭齿形有一部分可能不存在。对于直边工件齿形，其最小节圆半径为
" L; r" B$ v6 @1 l/ \8 [, {; C
（6）
式中，ra为工件外圆半径，此时即为正n边形的外接圆半径；a为形圆半径，此时即为正n边形的内切圆半径。为了计算方便，一般可将节圆取在其外圆上，故
rj＝ra
（7）
0 F; A) }% v, ~　　3．写出工件齿形方程
9 h& k$ g2 {- j7 ^　　图3中，CD为正n边形的一条边，E为CD的中点，EO为正n边形的内切圆半径，令EO＝a，则工件的齿形表达式为
　　4．求刀具齿形公式
　　①按式（5）得　
- u" C" [$ G% B) y4 s0 U$ i　　②按式（4）得　cosα＝（xcosδ＋ysinδ）／rj＝x／rj＝x／ra，即
cosα＝x／ra
（9）
( Q4 v0 F6 ~$ d- L7 b, h　　③按式（3）得
& A/ Z0 P) z  s) P
) G* ^8 W! i6 {: G5 ^（10）
; x4 s  X! C/ ~! U　　将（7）、（8）、（10）式代入（1）、（2）式得
/ C+ l# }+ F2 T; B
（11）
& r, t- G, I. y% _# k" O
（12）
　　α的变化范围是从D点到E点（见图3），故当α在D点时，据式（9）得
9 v6 i0 G$ j, P1 d3 _$ Z, i5 Ycosαmin＝xD／ra＝ED／ra＝（l／2）／ra
  \4 r  v( P$ p$ x$ Y- D（13）
, `) h7 ^. r% E4 |; E1 j1 g　　式中l为正n边形的边长。
& }6 L: |( C% s" H9 k　　当α在E点时，据式（9）得　　
( q) ]* f" n; Y% }: kcosαmax＝xE／ra＝0
9 A$ {: R  o" H. `αmax＝90°
9 a% N. p. j8 s4 `, F6 J& K) e　　这样，在αmin～90°范围内，选定不同的α后即可确定不同的x，代入式（1）、（2）即可得出整个滚刀的法向齿形坐标。
& l9 R0 X% S: Q5 |　　综上所述，当已知正n边形的边数n，边长l，外接圆半径ra，内切圆半径a，则正n边形滚刀的法向齿形可按以下各公式求出：
/ |( b7 D" A/ p% A( g0 R/ Qx0＝xsinα－acosα＋ra（90°－α）π／180°
（14）
y0＝ra－xcosα－asinα
" G6 Q2 N! B1 o! W# m* f  Y5 {（15）
cosα＝x／ra　（x＝racosα，x＝0～l／2）
（16）
αmin＝arccos（l／2ra）
（17）
! c5 X/ p* _6 p7 s; u- A- v# Kαmax＝90°
（18）
法向齿距Pn＝2πra／n
（19）
, I: n: O, F2 M; i9 |/ F三、滚刀计算实例
0 |: l% K) v0 p. E  X　　已知正六边形工件如图4所示。

图4
　　则　ra＝20
1 i! a3 S6 V) C; B2 @　　a＝35．47／2＝17．735（按中间值计算）
9 B- u: P7 W/ c; Y, y3 p　　
　　arccosαmin＝（l／2）／ra＝62．46765222°
% O6 i1 J# Z- P/ |　　αmax＝90°
! x: b, k9 ]1 R6 R: j　　x＝0～9．244986479
　　将α在αmin～90°范围内求出相对应的x后代入式（14）、（15），即可得出刀具法向齿形坐标（见下表）和滚刀的齿形图（见图5）。
/ s  I  r8 p! W7 M3 |- C表
& i# \& X4 R9 o( `+ _; ?" w& Yα
: m6 ~6 R8 \/ c" k% w2 }αmin
64°
* Z  t# r. W$ w( M6 J# }65．5°
…
71．5°
1 h8 i) H0 z2 Z; t# a…
2 v2 v1 `2 [9 E86．5°
88°
# K  U6 W# w% x7 A, n89°
% r4 g1 M; ?/ L* e% I2 S90°
% g, m, _* ~1 ~$ ~& }' ax＝（15）式
9．245
8．767
# S! k- d8 d' n3 Q1 U+ p4 J9 V1 k8．294
…
+ @4 q& c2 X( f3 L7 ~# [6 A3 J6．346
7 s& Q" k+ v$ i/ e+ p…
1．221
* r$ t& p! s5 D+ N) I0．698
0．349
: q1 C, l: e7 z. W0 {0
% F* Z# v. C- [x0＝（13）式
" k, N" P! z; Y: Y; B9．610
9．181
. a/ i9 \1 M% K8．745
…
/ K, D3 Y; p5 ~& e& u' Q3 O, G6．848
2 V# `$ T- y' Y% O…
4 L  E( P, |* ~& V9 B  t1．358
- l5 j- o2 E6 P  I2 I4 ^+ B7 h* |0．777
/ k$ |2 O! j  z' [, X0 |; M( T0．388
$ {  t2 N$ t0 b9 ~0
9 D9 P# e' c9 @" b5 F) j* Ty0＝（14）式
" x% v! ^( K$ n1 _4 H, }0
0．217
% d$ U- o. q' _5 I0．422
…
1．168
/ R5 B& U: i5 ~6 {7 r1 t) H8 m…
2．224
9 t8 `& X/ [8 x, P( A' e) I2．251
2．262
2．265
. n  s$ s6 |% m3 Y$ B) i% A+ X$ d+ H滚刀法向齿距Pn＝2πrj／n＝2πra／n＝2π×20／6＝20．944

图5
　　图5中，x0轴以上节线为曲线齿形，x0轴以下节线取直线齿形（不参加展成切削），其近似齿形角β可按αmin及邻近α处的x0，y0坐标计算得出。本例取αmin及α＝65.5°的坐标值，则
arctgβ／Δx0／Δy0＝9.610－8.745／0.422＝64°
　　全齿深在y0、αmax基础上加上0.2～适量的间隙量（以保证滚刀齿底牙宽不至于太尖为原则），本例加0.25mm，故全齿深取2.265＋0．25＝2.515mm。
2 C$ ?! u5 Z* z$ _. I# r　　因工艺需要，须给出代用圆弧参数，由于齿形对称于y0轴，故取代用圆弧圆心位于y0轴上，令代用圆弧半径为Ra，坐标距离为xa，ya，则根据几何关系可得弓形高EO0为
- \  ~  {9 S; n$ b% R& i: E
! d6 P! }1 `- `; i" l即

# U3 M* @' l3 F* A经整理得

                               
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（20）
( b9 `' q3 ?" V) X: d3 Yxa＝x0αmin
! k/ e8 G  G4 q5 D（21）
3 G& q+ g' n, cya＝Ra－y0αmax
" J$ P, u& D% C% L, k! L' p: E（22）
; g; H* M5 n& C# S　　本例中y0αmax＝2．265，x0αmin＝9．610，代入式（20）和式（21），得出的相关参数为：Ra＝21．519mm，xa＝9．610，ya＝19．254。【MechNet】
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