准双曲面齿轮和螺旋锥齿轮设计的统一算法

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准双曲面齿轮传动是锥齿轮传动中的普遍形式，螺旋锥齿轮是它的一种特殊情况.当准双曲面齿轮的偏置距E12=0时，就成为螺旋锥齿轮传动.在外形和加工方法上，准双曲面齿轮与螺旋锥齿轮无本质区别，切齿计算方法差别也不大［1，2］.在实际设计中，它们的几何计算方法却不相同.当偏置距E12趋近于零时，现行的准双曲面齿轮的几何计算公式误差增大，甚至失效.因此螺旋锥齿轮设计的几何计算不能采用准双曲面齿轮几何计算公式和计算方法.在CAD软件开发中必须对这两种锥齿轮分别进行处理.
* H5 o+ {9 T: f　　作者提出一种适合于准双曲面齿轮和螺旋锥齿轮设计的统一几何计算方法，其特点是当偏置距E12较大时，它与准双曲面齿轮现行计算结果一致；当偏置距E12为零时，得到正确的螺旋锥齿轮几何参数；当E12较小时，计算误差很小.因此在锥齿轮CAD软件开发中，可将这两种锥齿轮甚至包括直齿锥齿轮统一处理.
$ ]0 F5 w+ J" T) N1　分度锥参数基本公式
　　准双曲面齿轮与螺旋锥齿轮几何计算中最大的区别在于分度锥参数的确定方法.分析现行准双曲面齿轮几何计算公式可知，当偏置距E12趋近于零时，齿轮的偏置角η，ε，ε′也趋近于零，因而导致公式计算误差增大甚至失效.
　　作者在分析过程中发现，虽然E12趋近于零时，齿轮的偏置角η，ε，ε′也趋近于零，但它们属于同阶无穷小.即极限 和 存在.令

( m$ w/ ?% l6 R! i, k式中　e1和e2为偏置角系数.根据偏置角系数，可给出分度锥参数基本公式为
& e1 L. c, K: J
) u0 H. Y% V2 {& p  z6 L
式中　k为放大系数；
! Y3 h' x* ]  g  D　　上面这组基本公式不仅适合于准双曲面齿轮，也适合于螺旋锥齿轮，不会因E12=0而失效.
2　分度锥参数的求解
+ K0 V& r- Z7 }4 J/ U: S& ]　　上面给出的基本公式是一组非线性方程组，其中有5个参数是在几何计算前确定的.根据传动和强度等要求先确定齿轮的偏置距E12，轴交角σ=90°-Σ，齿轮齿数z1和z2，大齿轮中点端面模数mt2，小齿轮中点螺旋角β1.则上面基本公式中 的已知参数为i12=z2/z1, r2=mt2z2/2,及E12，σ，β1.
7 h  V& F# ]& D0 L4 I9 d- e" X　　由于基本公式是非线性方程组，在此采用迭代法求解.即初选k和e1值，按下面步骤进行迭代：
  k# G0 {& h) |
　　若｜k*-k｜≤ξ(由计算精度确定的某一小量)，则可进行下面的迭代；否则改变k初值重新迭代.

式中　rc为刀盘半径.
! f4 F: a- i1 ]) D8 \- ]　　若｜k0-kc｜＞ξ，则改变e1初值重新迭代，直到｜k0-kc｜≤ξ为止.迭代完毕，便得到了所有的分度锥参数.然后根据齿宽、齿高系数、变位系数和齿根倾斜类型，按准双曲面齿轮的方法进行其它所有几何尺寸参数的计算.
3　算　例
9 a' t* Q0 G/ a! G0 r. T% \　　作者采用上面的统一公式和算法分别对准双曲面齿轮和螺旋锥齿轮两种情况进行了大量的计算分析.表1是偏置距E12=0的螺旋锥齿轮算例结果；表2是偏置距E12=30mm的准双曲面齿轮算例结果.大量的计算分析结果表明：当E12=0时，上面方法所确定的分度锥参数与现行螺旋锥齿轮几何计算结果一致；当E12≠0时，上面方法与现行准双曲面齿轮几何计算结果一致；特别是当E12非常小时，本方法所得结果比较精确.因此，可用上面方法将这两种锥齿轮的几何计算方法统一起来.这对CAD软件开发特别有利.
表1　螺旋锥齿轮参数
参数
  r# A% o2 ~# \! _( a) R) k6 d大齿轮
小齿轮
齿数z
! f: ?: |" x; l" p  S: M2 o27
9 W* m$ R$ Y, R! M! p22
法向模数mn/mm
5.6124
, v; T$ }- C* V( ^端面模数mt/mm
6.8515
6.8515
! ?' l! D& z3 I; d螺旋角β/(°)
; v% N; E8 d' d0 t! m35.0000
35
6 j$ i! L7 G+ n; ]4 q分度圆半径r/mm
4 v0 p4 Z. E( o0 l4 _92.4953
75.3665
/ Q- v* T- M; J1 G锥距A/mm
1 h" \2 U! o" o! ~7 A' P* B, q8 ^119.3125
! `7 Z& ^9 K3 [& `% P119.3125
( \; P$ w9 e8 H* y" e* w分锥角δ/(°)
50.8263
39.1737
偏置距E12/mm
0
+ e; `5 G8 r8 I轴交角Σ/(°)
6 O% k: m& }$ g% |90
1 v4 ]6 N4 @4 K刀盘半径rc/mm
4 `  _8 N5 P5 N' q* Q& N+ P152.4
放大系数k
1.000000
偏置角系数e1/mm-1
2 _% G5 R$ J" X9 j0.005294274
偏置角系数e2/mm-1
0 L# G! }& i# b! H+ c$ e* x9 F0.006497509
偏置角ε′/(°)
0
表2　准双曲面齿轮参数
参数
大齿轮
小齿轮
, j/ q" L3 _$ ~4 D齿数z
% h- F6 W1 y) H37
0 ^8 w! R# l% g( Q7
1 X; l/ S3 [) h$ n$ {( \4 P- T法向模数mn/mm
4.7767
& S- r, c2 k' e9 s端面模数mt/mm
2 r" |. Y4 W9 O- ?3 z' Y5.7748
7.4313
螺旋角β/(°)
# u, y* Z! x( m- k3 s4 Y- A* `34.1908
50
" X9 l! N9 C- `: N; Q  a/ @分度圆半径r/mm
106.8341
26.0096
" Z, \. m' b3 @2 r, p) Q. |/ i2 J锥距A/mm
109.0763
123.9444
分锥角δ/(°)
77.4251
6 l! b0 X9 W4 @12.1135
偏置距E12/mm
30
: c/ R1 z7 w( r& B1 ^+ `# }. _轴交角Σ/(°)
90
: c1 B7 K2 I4 ~% b8 A9 T刀盘半径rc/mm
* X6 ?' y' m2 s9 I2 b- Q/ J+ |3 [114.3
放大系数k
1.286849
偏置角系数e1/mm-1
0.001977110
  X) w$ @3 H# d9 v偏置角系数e2/mm-1
0.008878960
7 @3 x2 \: k. f; `偏置角ε′/(°)
15.8092
4　统一设计中的问题
　　现行准双曲面齿轮和螺旋锥齿轮的标准参数，如模数、齿高系数、变位系数等都定义在大端.这对准双曲面齿轮会导致理论啮合节点偏离齿宽中点而与螺旋锥齿轮不同.因此建议将标准参数定义在齿宽中点，这样也可以与强度计算方法一致［3］.此外，现行准双曲面齿轮标准参数中的螺旋角是小齿轮螺旋角，而标准参数中的模数是大齿轮端面模数.建议标准参数取大齿轮螺旋角和法向模数，这样更合理.
5　结　论
　　大量算例和实际应用表明，作者提出的几何计算方法是可行的.作者已经根据此原理开发了CAD应用软件，并用于实际设计中.这样就使准双曲面齿轮和螺旋锥齿轮甚至直齿锥齿轮设计中的几何计算方法的统一有了依据.结果也在一定程度上揭示了准双曲面齿轮和螺旋锥齿轮理论上的本质联系.对锥齿轮的标准化、系列化和CAD技术也有一定的意义.
文章关键词： 齿轮