高速精密主轴轴承热特性的计算及分析

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高速电主轴是高速机床的核心部件，电主轴单元各零件的精度通常为µm级，如跳动一般为1～3µm，主轴刚度一般为100-300N/µm，因此，电主轴各零件自身的精度误差和变形量很小。然而，高速运转时，轴承发热量很大，导致轴承温升很高，并引起热变形。热变形引起的误差远大于精度误差和变形量。而且，热变形直接改变了轴承的预紧状况，影响轴承的刚度特性和电主轴的加工精度，严重时，甚至导致轴承的热咬合，使电主轴毁坏。电主轴的发热问题降低了其在实际生产应用中的可靠性。故对轴承进行热分析并掌握轴承的热态特性对提高电主轴加工中的稳定性和可靠性都是极其重要的。高速精密角接触球轴承是机床主轴单元中应用最广泛的一类轴承，本文就以此类轴承为研究对象，对高速精密主轴轴承系统作了较有意义的热特性分析与计算。
$ Z6 l. r( P7 h3 J! ?- f" ]1 高速精密轴承的摩擦力矩及摩擦热
! C' e: T3 O$ M( T轴承的发热主要跟摩擦力矩有关，力矩越大，生成的摩擦热也越多。根据Palmgren推导的公式，轴承的摩擦力矩主要有两部分:润滑剂粘性产生的摩擦力矩和与速度无关的载荷作用产生的摩擦力矩。计算公式如下:
% Y+ A; j- ]2 X! S# J$ dM0=10-7f0(vn)2/3dm3
(1)
M1=f1P1dm
(2)
# A0 s/ p6 b; S式中:f0为与轴承类型和润滑方式有关的系数;v为工作温度下润滑剂的运动粘度，mm2/r;n为主轴转速，r/min;dm为轴承节圆，mm;f1为与轴承类型和所受负荷有关的系数;P1为确定轴承摩擦力矩的计算负荷,N;M0,M1为摩擦力矩，N·mm。
轴承接触区热生成还跟滚动体与轴承套圈的自旋运动有关，高速下根据轴承套圈沟道理论，滚动体和内套圈存在自旋运动，自旋摩擦力矩为
Msi=
3µsiQiaiei
8 U- F. D* T0 c; f4 a5 Y8
' X" {4 t4 y7 c/ Q# _, O& D! [式中:µ为滚动体与沟道的摩擦系数;Q为滚动体与沟道的法向接触载荷,N;a为赫兹接触椭圆长半轴，m;e为第二类椭圆积分。
因此， 轴承的摩擦热可按如下计算得到
  v% _5 ~& L2 u9 d3 i: BHlot=
/ i# J" v7 G/ l7 y6 {" m2p
n(M0+M1)+Msiwsi
9 b. P; Z- W4 R5 \$ L1 n" O& c* C60
' J- q+ `) w  P7 s8 D4 ~$ ^式中：n为主轴的转速，r/min。wsi为滚动体内圈自旋运动角速度，rad/s。
' \" S" d( C9 d7 p由式(1)～式(4)可知，要求得摩擦热须计算滚动体的自旋角速度，该角速度计算公式如下：
wsi=-wbsin(tgb-ai)+(w-wc)sinai
(5)
' d( l( f- V9 [' e3 |; ewb=w[(
0 [6 y# Q* F2 s) zcosae+tgbsinae
2 p* v1 b# H+ {+
3 L6 W* P) E# d+ ]; Z5 q- Ucosai+tgbsinai
)g'cosb]-1
1+g'cosee
6 H$ q- I7 }# M9 W5 Q& B# w6 k1-g'cosei
0 a% U! R7 e6 o" \) Rwc=
w(1-g'cosei)
6 O. A4 p+ |% n  C0 v4 ]1+cos(ai-ae)
! _+ G0 n- b5 P& u式中：w为主轴的角速度，rad/s；ai，ae为轴承内外圈接触角，rad；wb为自转角速度，rad/s；wc为滚动体公转角速度，rad/s
7 Y6 H8 G$ o, c5 Xg'=Db/dm
0 v# p; O' _6 r8 `式中：Db为滚动体直径，mm。
7 e; r  ^- @" W- k) g* Utgb=
; w1 M% d* A$ o& hsinae
cosae+g'
8 n2 d% Z9 y2 y& _* n5 I8 [% ?2 “主轴一套圈一滚球一轴承座”系统的热分析

2 [) n! e! w# y5 \4 p图1 轴承系统温度节点分布图
; O; }8 L2 n4 O3 c& ~# c将轴承、主轴和轴承座作为一个系统考虑，该系统的摩擦热生成和热传递是复杂的三维热问题，为简化计算，假定系统周向的热特性是一致的，则可以轴向截取一个平面为研究对象作系统的热分析。根据Burton 和steph提出的观点，将摩擦热在轴承滚动体和套圈之间作1:1的分布，即摩擦热有一半进入滚动体，另一半则进入套圈。采用节点网络法求解该系统各关键点的温度，得到整个系统的温度分布状况。这里，一共设立了9个温度节点，满足了一般计算的精度要求。各关键温度节点的分布如图1所示。轴承润滑方式为油气润滑方式，强迫对流系数比较难确定，这里根据经验公式计算强迫对流系数。
7 M! M' f' a- hh=0.332Kl·Pr1/3·(
# Y6 w7 M5 E; J9 f* Gu
)0.5
ux
- K4 Z: G+ E, s6 F7 \* |式中：Kl为润滑油的导热系数，W/(m2• ℃)；Pr为普朗特数冰为对流的速度，m/s；v为润滑油的运动粘度，mm2/s; x为特征长度，m。
! o% b. {6 _5 R% \对滚动体，对流速度取轴承保持架的表面速度，特征长度取轴承的中径；对内外套圈，对流速度各取保持架表面速度的三分之一，特征长度则取各自的沟道直径。
系统处于热平衡时，各节点的温度不再发生变化。此时，各节点的净热流为零。根据这一点，可以得到9个热流方程，并组成一个包含9个节点温度的方程组。该方程组是个非线性方程组，采用牛顿—拉费逊法求诸计算机可解。
& W' T3 i  L- e1 p/ [$ U下面给出轴承套圈、主轴径向的导热方程。
q=
2pKC
" a8 b& r. a7 e( C- [1 d$ V0 bTe-Ti
ln(de/di)
式中：K为导热系数，w/(mK)；C为轴承宽度，m；de、di为各套圈的外径、内径，m。
2 F; I$ ?3 }* e3 {主轴径向导热方程为
q=KpW(T0-T∞)
, w6 T7 U4 `9 ~8 d(11)
9 w, T+ K1 R: x' H9 I  H式中：W为选定的主轴宽度，m。
2 @% d  x- ~& ?% h$ \3 影响轴承温升的因素分析
本实例的轴承型号为7013C ，轴承及计算模型参数为：
d=65mm D=100mm , D0=160mm，B=18mm，Ls=30mm，Lh=20mm。
2 [. `5 @& K6 K4 k& X; Z# A2 F已知轴承预紧方式为定压预紧，预紧力为300N 。主轴转速即轴承内圈转速为20,000r/min 。计算得：高速下，轴承内外圈接触角分别为24.3°和7.2°，内外圈法向受力各为729.26N和2391.5N。轴承润滑方式为油气润滑，轴承保持架表面速度为18.9m/s 。计算结果在表1中给出。
6 o" a+ [8 V/ Z. ]表1 节点温度
节点
; p- F, p- p2 W) o/ W; g$ oT1
) Q" Y. [' n" k+ zT3
; h) n" o8 v8 |+ wT4
T5
T6
: _" q5 I" Z2 ^T7
/ ^  V3 `- I/ R  qT8
9 ]. c. _  b" B0 P温度
0 l* G$ x2 p7 w* @( u2 @50.2
56.1
57.2
# H* o2 Y5 G- P; d# L  Q49.3
. s! ^  b3 a4 U4 v7 e& Z37.1
) v* f2 f* u! v; ^34.9
( d7 v  N8 H7 r9 p31.3
图2 转速对轴承节点温度的影响
图3 润滑方式对轴承温度的影响