数控编程中非圆曲线的数学处理

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非圆曲线包括除圆以外的各种可以用方程描述的圆锥二次曲线(如：抛物线、椭圆、双曲线)、阿基米德螺线、对数螺旋线及各种参数方程、极坐标方程所描述的平面曲线与列表曲线等等。数控铣床在加工上述各种曲线平面轮廓时，一般都不能直接进行编程，而必须经过数学处理以后，以直线一圆弧逼近的方法来实现。但这一工作一般都比较复杂，有时靠手工处理已经不大可能，必须借助计算机作辅助处理，最好是采用计算机自动编程高级语言来编制加工程序。
! w! M! a4 A+ r$ D处理用数学方程描述的平面非圆曲线轮廓图形，常采用相互连接的弦线逼近和圆弧逼近方法，下面将分别进行介绍。
（1）弦线逼近法  一般来说，由于弦线法的插补节点均在曲线轮廓上，容易计算，程编也简便一些，所以常用弦线法来逼近非圆曲线，其缺点是插补误差较大，但只要处理得当还是可以满足加工需要的，关键在于插补段长度及插补误差控制。由于各种曲线上各点的曲率不同，如果要使各插补段长度均相等，则各段插补的误差大小不同。反之，如要使各段插补误差相同，则各插补段长度不等。下面是常用的两种处理方法。
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3 A' X/ m9 K8 \8 _9 @1）等插补段法
8 i: s1 m9 q1 n' V: H& X1 c等插补段法是使每个插补段长度相等，因而插补误差补等。编程时必须使产生的最大插补误差小于允差的1/2～1/3，以满足加工精度要求。一般都假设最大误差产生在曲线的曲率半径最小处，并沿曲线的法线方向计算，见图所示。这一假设虽然不够严格，但数控加工实践表明，对大多数情况是适用的。
2)等插补误差法
' a9 h5 D2 V" v) P# a' d8 O  @等插补误差法是使各插补断的误差相等，并小于或等于允许的插补误差，这种确定插补段长度的方法称为“等插补误差法”。显然，按此法确定的各插补段长度是不等的，因此又叫“变步长法”。这种方法的优点是插补段数目比上述的“等插补段法”少。这对于一些大型和形状复杂的非圆曲线零件有较大意义。
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对于曲率变化较大的曲线，用此法求得的节点数最少，但计算稍繁。
* F' u* a4 f: Z" O8 z(2)圆弧逼近法
7 c6 K/ X' M6 Q4 i1 S; ]曲线的圆弧逼近有曲率圆法、三点圆法和相切圆法等方法。三点圆法是通过已知的三个节点求圆，并作为一个圆程序段。相切圆法是通过已知的四个节点分别作两个相切的圆，编出两个圆弧程序段。这两种方法都必须先用直线逼近方法求出各节点，再求出各圆，计算较繁琐。
上面讲述的几种逼近计算中，只是计算了曲线轮廓的逼近线段或逼近圆弧段，还需应用等距线或等距圆的数学方法计算刀具中心的各节点坐标，作为编程数据。
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