圆柱铣刀前刀面法曲率的计算

flydream007

1．前言
　　对于前刀面为平面的刀具，前角和其它几何角度一起可完全确定前刀面的方位；而对于前刀面为曲面的刀具，几何角度则只能确定前刀面在刀刃处的切平面，不能确定前刀面的形状。前刀面的形状，特别是刀刃处前刀面的弯曲情况对卷屑、断屑和排屑影响甚大，是刀具的一个重要性能指标。文献［1］研究了如何精确磨出圆柱形螺旋刃铣刀的法向前角。本文将在此基础上，进一步对已经保证了法向前角的前刀面进行研究，求出它在刀刃处的法曲率，特别是与刀刃垂直方向的法曲率，从而了解刀刃处前刀面的弯曲状况，为制造性能优良的铣刀提供理论依据。
　　2．前刀面描述
1 `0 P3 B0 C1 S( i　　图1为用砂轮外圆磨削圆柱铣刀前刀面的情况，磨削原理及各符号的意义已在文献［1］中作了说明。前刀面方程为［1］
8 b4 s: f+ b/ D* f
! ^3 \( G. d- S, |其中θ和 参数曲线方向的切矢 和 为

9 ^, C+ J" s% g4 F+ T图1　砂轮与刀具的相对位置
6 k, m2 J0 X& h; k; \  T　　这是一般性切矢方程，对于图1中的M点则有
/ w: a; A2 m, N/ Q8 R
& X8 ~: v% }( ^! n. r* Y2 zM点两条参数曲线方向的单位切矢仍用rθ和rφ表示，它们为　　

" W8 V: h& L1 E! J（5）式中，P为前刀面的螺旋参数， 为M点与xoz平面的夹角　　
1 M4 A! C; J4 h+ e$ S4 N' ^
  f3 G2 B$ r! D/ Y　　M点的单位法矢n（正向由前刀面指向容屑槽）为
7 M8 K& F8 t8 e7 s
　　3．方向的法曲率Kφ
　　由图1，砂轮端面与前刀面（1）的交线是半径为Rc的圆，它在M点的曲率为 。由于是平面曲线，该点单位主法矢βc 为（图1）

& F. G) u3 Z0 m' f: o9 q 与 之间的夹角θ1为
3 G2 o" H4 ^4 h) ^1 Q/ m　　cosθ1＝.＝nxsinφcosβw－nysinφsinβw＋nzcosφ              （10）
- u- r0 K! w  l$ ?4 U1 W) x3 ~由默尼埃定理［2］可得法曲率
/ V4 \  y8 y, q$ i
5 F9 F9 ?6 \* @: n% `0 ^　　4． 方向的法曲率Kθ和短程挠率Gθ
' ?7 ]9 X, v8 Y6 c/ }　　由于前刀面为圆柱螺旋面，θ参数曲线就是半径r＝d／2的圆柱面上的螺旋线。圆柱螺旋线上任一点的曲率k和挠率τ为常数，它们为（参见［2］P41的例2）　　
, i. U+ Z+ r; X
　　螺旋线上任一点的主法矢与螺旋线轴线垂直相交（参见［3］P59的习题3），所以M点的单位主法矢 为
4 }; U) `3 L7 X/ o3 v1 q$ Q＝o，－sin               （14）
- Z/ Y: V( V% g1 A与前刀面法矢n之间的夹角θ2为
cosθ2＝.              （15）
所以，方向的法曲率Kθ为

　　圆柱螺旋面上沿一条螺旋线（θ参数曲线）上任一点的螺旋面法矢与螺旋面轴线（x轴）的夹角也是固定的，所以该螺旋线的主法矢与相应点的螺旋面法矢的交角也是固定的。由此可得（参见［2］P237的定理3）

　　5．M点的法曲率及前刀面法向截形曲率半径ρM
　　图2为M点切平面内的情况。作的垂直方向 ，它也是M点处刀刃的法截线方向，该方向的法曲率用KN表示，则该方向的短程挠率为－Gθ。
5 f. Y3 F7 @7 u) p: ]8 x
图2　M点的切平面
　　与 之间的
2 l- O2 [+ I, g9 O夹角Δ为
cosΔ＝rθ.rφ              （18）
方向的法曲率和短程挠率满足
　　Kφ＝Kθcos2Δ＋2GθsinΔcosΔ＋KNsin2Δ
* U/ a. A+ i' u/ g: {所以
* s# n. t% l3 V9 N; {　　KN＝（Kφ－Kθcos2Δ－2GθsinΔcosΔ）／sin2Δ              （19）
由此即得M点法向截形的曲率半径ρM为

! L5 l. d4 w1 d求得KN之后，即可求得任一方向rα（图2）的法曲率Kα和短程挠率Gα为
0 f" j( Z2 s3 n: y3 R5 J9 ]　　Kθ＝Kθcos2α＋2Gθsinαcosα＋KNsin2α              （21）
　　Gα＝（KN－Kθ）sinαcosα＋Gθ（cos2α－sin2α）              （22）
3 ?. f+ @7 Q' A8 V3 Z9 Q　　到此，M点的法曲率问题已完全解决。在实际切削中，流屑方向一般不在rN方向，按（21）式即可求出流屑方向的法曲率，进而可研究流屑剖面（不一定是法截面）内前刀面的弯曲状况。
　　6．算例与说明
　　以立铣刀为例，铣刀直径d＝50mm，螺旋角β＝45°，法向前角γn＝15°，磨削深度h＝10mm，所用砂轮半径Rc＝35mm，砂轮轴线与刀具轴线之间的夹角βw＋90°＝136．5°，磨削中心距H＝48．874mm，磨削偏距E＝－8．338。求得Kθ＝0．005176379，Gθ＝0．02，Kφ＝0．00250113，Δ＝120．7778326°，ρM＝39．4074mm。
1 b8 H( L$ x$ A; w! x' ^$ K+ h7 e　　对于一定的切削条件以及特定的卷屑、断屑和排屑要求，存在一个理想的前刀面弯曲状况，一般设计刀具时可以用ρM来表征。当按给定的磨削工艺参数计算出的ρM不能满足要求时，可以改变一些可调参数，例如重新计算Rc和βw。
. B# s; T- j: ]1 _* ^3 {1 Y9 f文章关键词： 圆柱铣刀