多轴联动线性插补及其“S加减速”规划算法

剑映月

1 前言
多轴联动的线性插补及其加减速算法是高档数控系统的核心技术。加减速处理分前加减速处理和后加减速处理。前加减速处理在插补之前，其优点在于对合成速度进行控制，不影响位置精度，但要进行减速点的预测。前加减速通常采用直线加减速。后加减速是对各插补轴分别进行加减速控制，由于各轴之间没有协调关系，因此，合成位置可能不准确。
S曲线加减速通常用于后加减速处理，我们在开发基于开放式数控系统的多坐标联动纤维缠绕机时，将其应用于前加减速处理，取得了很好的效果。
2 多轴联动的线性插补S加减速
8 K: z. g( Q: b) ~- aS曲线加减速规划是指在加减速时，使其加速度的导数(Jerk) da/dt为常数，通过对加Jerk值的控制来最大限度地减小对机械系统造成的冲击。另外，通过对加速度和Jerk两个物理量的参数设定或编程设定，可实现柔性加减速控制，以适应不同种类机床的工况。
; d- v8 u4 y3 c) ~3 x/ t/ d设在n维线性插补数控程序中，任意一段插补数据为
| P1, P2, …，Pn, F |其中：F为合成速度，P1～Pn为各插补轴当前段的位移。
根据线性插补原理，各插补轴的位移与速度比相等，则有应于各插补轴的分速度。令
|Pi|
=
P
5 D7 h2 p2 P7 Y=TSEP      i=1, 2, …, n
3 B9 z* H0 y  {3 p8 E+ r  m# |Fi
F
( ^; J  D: b* o3 M% L$ }5 v
' {5 `7 S  c6 q6 ?图1 “S加减速”规划原理图
& m; g6 u; j$ R3 I% I式中：P=( Pi2)½表示合成位移；TSEP表示该线性插补段各轴同时到达终点所需时间；F1～F2为合成速度对应于各插补轴的分速度。
+ D5 ^# G  a: n0 H. k; [令
Ki=
' c# `3 }$ x6 g4 V- z6 [Pi
( l& g7 l* M* s2 Bi=1, 2, …, n
6 _7 o8 Q6 [- [: U# E5 BP
' d. k1 m6 `, WFi=KiF      i=1, 2, …, n
. {7 t/ ~+ r8 J% y% k(3)
, c0 \( \  T" U  q# |在前加减速处理时，对给定速度进行规划，如图1所示，整个加减速过程分为三段，即加速段(1, 2, 3区)，匀速段(4区)和速段(4, 5, 6区)。在加速段和减速段，又分别包括变加减速区(1, 3, 5, 7区)和恒加减速区(2, 6区)：变加减速区，|da/dt|=J, Jerk为恒值；恒加减速区，|a|=A，加速度为恒值，匀速段(4区)的速度为恒值Vc。
各轴的运动参量成比例
对已规划的合成速度v(t)在te点幂级数展开，令∆t=t-tx，有
+ h) h5 @" _; F; o' f9 Nv(t)=v(tx)+a(tx)∆t+½J(te)∆t2
(4)
6 G) e  q) |7 S+ t, N: U2 C同理，各插补轴对应．点速度
$ i0 G( \4 m! s3 Q6 Q( O7 svi(t)=vi(te)+ai(te)∆t+½Ji(tx)∆t2F      i=1, 2, …, n
3 q0 c5 l: ?4 C. p0 A(5)
' j: U, W3 O! G+ c5 e根据线性插补原理，合成速度与各插补轴速度有下列比例关系：
vi(t)=Kiv(t)F      i=1, 2, …, n
! ]: g6 L) F) h' h! U9 Y(6)
对于上面恒等式，应有
vi(tx)=Kiv(tx), ai(tx)=Kia(tx), Ji(tx)=KiJ(tx)
2 P* y* Z7 Z/ T4 j# [, a: [(7)
由于tx为任意一点，此式表明段内加减速过程中各插补轴的速度、加速度和Jerk分别与合成的速度、加速度和Jerk对应成比例。当对合成速度按S曲线规划时，各插补轴在保证空间轨迹的同时，也按S曲线进行加减速，即S曲线加减速可用于前加减速控制。同时，上述关系可用于各插补轴的速度、加速度和Jerk的极限值检查。
0 a# Y4 o$ V) r; n, z! W  L6 M; ~S加减速的插补递推公式
设插补周期为T，则在第k个插补周期结束时的合成位移Sk为
∫
tk
v(t)dt=
∫
tk-1
v(t)dt+
& q& f! U7 T8 s, Q4 m: G: S∫
' ^, s/ f- b4 O$ itk-1+T
v(t)dt=Sk-1
∫
t
% T7 h* G6 y  k' P0 T) J4 i(vk-1+ak-1t+½Jt2)dt
6 W1 S2 b4 C  P1 b  u! s=Sk-1+vk-1T+½ak-1T2+(1/6)JT3
- P) U" E8 u" z1 b) K( y0
0
  _4 d# H( [5 X) E! k" htk-1
8 M/ M! p0 I) v/ q0
第k个插补周期内的合成位移增量为
∆Sk=vk-1T+(1/2)ak-1T2+(1/6)JT3=vk-1T+(1/2)(ak-1+(1/3)JT)T2=vk-1+(1/2)akT2=(vk-1+(1/2)akT)=vkT
(9)
& K+ s; g4 c* u; Q9 }, p$ Fak=ak-1+(1/3)JT
(10)
% @- \" x* X, W, |vk=vk-1+(1/2)akT
(11)
注意，上述递推公式是分区适应的，即
J=
: q- G2 P; e, n3 D- o8 e) |5 `% w{
J, T∈[t0，t1]∪t6，t7
0, t∈(t1，t2)∪(t3，t4)∪(t5，t6)
-J, t∈[t2，t3]∪[t4，t5]
只要初始条件ak-1和vk-1给定，则可推导出各插补周期的合成位移增量。进而得到各插补轴在插补周期内的位移增量，其公式为
∆Pik=
, _$ {& N) W; A) cPi
∆Sk=Ki∆Sk
P
区间的判别
段内加减速时，每程序段伺服电动机速度总要减到零后再执行下一程序段。因此其加速段和减速段的位移相等，见图1。
1区(t0-t1)的初始速度和初始加速度为0，则在t1时刻的位移Pti=(1/6)Jt13，其加速度a1=A=Jts，速度Vt1=(1/2)At12=(1/2)Ats，则
8 i( q! l2 u, d- R3 kts=t1=A/J
7 V. a' R9 r% t9 g(14)
由图1中的加速度图线可以看出
0 w6 V8 x# i- TV=(1/2)Ats+Atl+(1/2)Ats=A(ts+tl)
(15)
tl=(V/A)-(A/J)
(16)
, P, l. S3 R! u  @2 qta=2ts+tl=(V/A)+(A/J)
4 p& {. J( J2 {# Y* r( ?(17)

图2 插补计算流程框图
∆S=P-
k
∆Sk
4 _/ b- Y7 V; ?# g* k) _  ?+ W∑
4 K- Q- R  {' P5 ^. Y. P+ @1
∆Si=Pi-
4 x1 B) X* z/ Y# C4 v0 Ck
∆Pik
∑
1