多轴联动线性插补及其“S加减速”规划算法

剑映月

1 前言
多轴联动的线性插补及其加减速算法是高档数控系统的核心技术。加减速处理分前加减速处理和后加减速处理。前加减速处理在插补之前，其优点在于对合成速度进行控制，不影响位置精度，但要进行减速点的预测。前加减速通常采用直线加减速。后加减速是对各插补轴分别进行加减速控制，由于各轴之间没有协调关系，因此，合成位置可能不准确。
S曲线加减速通常用于后加减速处理，我们在开发基于开放式数控系统的多坐标联动纤维缠绕机时，将其应用于前加减速处理，取得了很好的效果。
" b. Q. v7 _# A$ k9 z# {# O2 多轴联动的线性插补S加减速
S曲线加减速规划是指在加减速时，使其加速度的导数(Jerk) da/dt为常数，通过对加Jerk值的控制来最大限度地减小对机械系统造成的冲击。另外，通过对加速度和Jerk两个物理量的参数设定或编程设定，可实现柔性加减速控制，以适应不同种类机床的工况。
0 e. k. O! y7 Q- r; _+ ^设在n维线性插补数控程序中，任意一段插补数据为
| P1, P2, …，Pn, F |其中：F为合成速度，P1～Pn为各插补轴当前段的位移。
根据线性插补原理，各插补轴的位移与速度比相等，则有应于各插补轴的分速度。令
|Pi|
=
  N* ^3 z+ y" i) }2 xP
0 S5 u+ G' ?2 I0 ^9 Y* T1 r=TSEP      i=1, 2, …, n
( B+ v* [4 w* p3 HFi
F
$ _' n4 N: O( ^0 ]# ~; U, w" p% ^
  U- y% ]- A  H% J* _) g0 ~图1 “S加减速”规划原理图
式中：P=( Pi2)½表示合成位移；TSEP表示该线性插补段各轴同时到达终点所需时间；F1～F2为合成速度对应于各插补轴的分速度。
令
Ki=
Pi
i=1, 2, …, n
8 b- V! V7 P; O# l) K1 f% |P
Fi=KiF      i=1, 2, …, n
(3)
在前加减速处理时，对给定速度进行规划，如图1所示，整个加减速过程分为三段，即加速段(1, 2, 3区)，匀速段(4区)和速段(4, 5, 6区)。在加速段和减速段，又分别包括变加减速区(1, 3, 5, 7区)和恒加减速区(2, 6区)：变加减速区，|da/dt|=J, Jerk为恒值；恒加减速区，|a|=A，加速度为恒值，匀速段(4区)的速度为恒值Vc。
各轴的运动参量成比例
对已规划的合成速度v(t)在te点幂级数展开，令∆t=t-tx，有
v(t)=v(tx)+a(tx)∆t+½J(te)∆t2
(4)
5 H1 `0 P  O' |2 W) r同理，各插补轴对应．点速度
vi(t)=vi(te)+ai(te)∆t+½Ji(tx)∆t2F      i=1, 2, …, n
  v) N5 L" R7 M(5)
根据线性插补原理，合成速度与各插补轴速度有下列比例关系：
vi(t)=Kiv(t)F      i=1, 2, …, n
(6)
对于上面恒等式，应有
vi(tx)=Kiv(tx), ai(tx)=Kia(tx), Ji(tx)=KiJ(tx)
$ C/ k$ [7 I" ?' }3 ?4 p(7)
由于tx为任意一点，此式表明段内加减速过程中各插补轴的速度、加速度和Jerk分别与合成的速度、加速度和Jerk对应成比例。当对合成速度按S曲线规划时，各插补轴在保证空间轨迹的同时，也按S曲线进行加减速，即S曲线加减速可用于前加减速控制。同时，上述关系可用于各插补轴的速度、加速度和Jerk的极限值检查。
S加减速的插补递推公式
设插补周期为T，则在第k个插补周期结束时的合成位移Sk为
∫
1 x$ h5 g: Q' c/ _( b8 C! j! Jtk
2 o0 A4 I! Z. Y4 }7 s( |v(t)dt=
∫
tk-1
v(t)dt+
∫
. D% B% {, p8 z5 rtk-1+T
" g7 j0 X2 l0 u2 K6 g, {v(t)dt=Sk-1
( Q, A: }- i$ D5 W3 e∫
t
(vk-1+ak-1t+½Jt2)dt
=Sk-1+vk-1T+½ak-1T2+(1/6)JT3
" J" L% W% m, H4 R- A1 k0
0
" d7 m6 c2 ]$ J& q6 _# jtk-1
0
! ?- i% ^6 k: F第k个插补周期内的合成位移增量为
. v8 M* U8 U! I4 }' f∆Sk=vk-1T+(1/2)ak-1T2+(1/6)JT3=vk-1T+(1/2)(ak-1+(1/3)JT)T2=vk-1+(1/2)akT2=(vk-1+(1/2)akT)=vkT
: B) S' c0 O6 Y% w- j(9)
ak=ak-1+(1/3)JT
(10)
vk=vk-1+(1/2)akT
' D6 ?; Y5 N6 Q(11)
注意，上述递推公式是分区适应的，即
J=
* {# M0 {2 {4 I1 S" k{
J, T∈[t0，t1]∪t6，t7
2 _# ?3 x+ q6 g, Y4 C- n; H0, t∈(t1，t2)∪(t3，t4)∪(t5，t6)
-J, t∈[t2，t3]∪[t4，t5]
只要初始条件ak-1和vk-1给定，则可推导出各插补周期的合成位移增量。进而得到各插补轴在插补周期内的位移增量，其公式为
8 R8 @7 D6 I" H2 z+ z∆Pik=
Pi
* v2 Z! k- J6 A9 U4 ]∆Sk=Ki∆Sk
P
7 U% x) T6 w1 M2 m区间的判别
& [: J! O  Z. A, @8 p. a段内加减速时，每程序段伺服电动机速度总要减到零后再执行下一程序段。因此其加速段和减速段的位移相等，见图1。
9 Y& M. ^% R& C2 @1区(t0-t1)的初始速度和初始加速度为0，则在t1时刻的位移Pti=(1/6)Jt13，其加速度a1=A=Jts，速度Vt1=(1/2)At12=(1/2)Ats，则
ts=t1=A/J
(14)
由图1中的加速度图线可以看出
V=(1/2)Ats+Atl+(1/2)Ats=A(ts+tl)
(15)
, g# ]' X' T, U0 Atl=(V/A)-(A/J)
5 W2 {" i3 l6 B! V8 t. ^(16)
& B9 b3 B0 S" Q: x5 d/ vta=2ts+tl=(V/A)+(A/J)
! \, B8 b5 U6 Q9 k( l( L* r(17)

- R, ^" j$ Y# R3 ^+ d( t' y图2 插补计算流程框图
∆S=P-
k
∆Sk
∑
4 @6 W! j' Q; X$ n$ W+ j- ?1
∆Si=Pi-
k
∆Pik
1 ^0 j! @/ W( C  l∑
0 {5 M# _& T0 a& w- V4 u7 K1