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[资料] 多轴联动线性插补及其“S加减速”规划算法

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发表于 2011-7-13 23:52:54 | 显示全部楼层 |阅读模式

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1 前言
- D" e9 N8 W9 h2 F. c; V多轴联动的线性插补及其加减速算法是高档数控系统的核心技术。加减速处理分前加减速处理和后加减速处理。前加减速处理在插补之前,其优点在于对合成速度进行控制,不影响位置精度,但要进行减速点的预测。前加减速通常采用直线加减速。后加减速是对各插补轴分别进行加减速控制,由于各轴之间没有协调关系,因此,合成位置可能不准确。
7 n7 b- B' ~1 T, q. WS曲线加减速通常用于后加减速处理,我们在开发基于开放式数控系统的多坐标联动纤维缠绕机时,将其应用于前加减速处理,取得了很好的效果。" Q, [# q! b$ [4 b9 t+ A# |7 B7 V6 F
2 多轴联动的线性插补S加减速
) i5 e; q6 ?1 F0 @% U9 {S曲线加减速规划是指在加减速时,使其加速度的导数(Jerk) da/dt为常数,通过对加Jerk值的控制来最大限度地减小对机械系统造成的冲击。另外,通过对加速度和Jerk两个物理量的参数设定或编程设定,可实现柔性加减速控制,以适应不同种类机床的工况。# M7 c5 n  [: r2 b/ L$ U0 C  E
设在n维线性插补数控程序中,任意一段插补数据为
0 |8 n+ Y  _. X+ d8 U| P1, P2, …,Pn, F |其中:F为合成速度,P1~Pn为各插补轴当前段的位移。
$ }8 J. w5 q& [5 j$ K0 n5 V) p根据线性插补原理,各插补轴的位移与速度比相等,则有应于各插补轴的分速度。令
8 S* X& U' C# X$ U8 B|Pi|, A$ A9 b! g' \1 v0 q7 D. H' D6 `
=. w8 `0 M% ]: j; }1 u1 v0 D+ s
P" D! x; M, F( J2 d5 \5 z2 F
=TSEP      i=1, 2, …, n
7 E7 \0 O# f6 y' E9 YFi
, ?4 @( z1 e- h( G' AF
2 g# E7 M3 K( P7 r4 H' P 200832092343.gif 4 j3 B$ `# t/ W" }( b
图1 “S加减速”规划原理图
, `- g2 g( g. Z# v! P; f+ d2 _- S式中:P=( 20083209245.gif Pi2)½表示合成位移;TSEP表示该线性插补段各轴同时到达终点所需时间;F1~F2为合成速度对应于各插补轴的分速度。; A1 d2 m+ g; K" {: D: g2 T
. J+ U, _/ u! c
Ki=
. g; q5 F/ I) j( XPi' h5 K$ s) w$ S6 ~' I' q1 ~
i=1, 2, …, n
  m0 K. Z+ \6 p) iP% N2 d" q* |% W
Fi=KiF      i=1, 2, …, n0 e7 x9 Z) o# ^$ h! x
(3)1 u; v" @; Z9 z6 n
在前加减速处理时,对给定速度进行规划,如图1所示,整个加减速过程分为三段,即加速段(1, 2, 3区),匀速段(4区)和速段(4, 5, 6区)。在加速段和减速段,又分别包括变加减速区(1, 3, 5, 7区)和恒加减速区(2, 6区):变加减速区,|da/dt|=J, Jerk为恒值;恒加减速区,|a|=A,加速度为恒值,匀速段(4区)的速度为恒值Vc。. k. q3 j' U5 e7 z! j4 _
各轴的运动参量成比例- t7 D9 Y! [) Y) L1 a
对已规划的合成速度v(t)在te点幂级数展开,令∆t=t-tx,有
; I" p& s$ Q/ Z, Tv(t)=v(tx)+a(tx)∆t+½J(te)∆t2  w) f+ X( F( u5 C3 m
(4)
9 t) p" ?8 E* m3 R$ E$ d. |0 k' d同理,各插补轴对应.点速度7 }4 \. G& U/ N4 W
vi(t)=vi(te)+ai(te)∆t+½Ji(tx)∆t2F      i=1, 2, …, n
3 l3 E( s( {# C. k6 w(5)
3 P4 }% S9 L4 S" @6 ^+ j- R  B3 C根据线性插补原理,合成速度与各插补轴速度有下列比例关系:' I" q3 Q! @9 d
vi(t)=Kiv(t)F      i=1, 2, …, n
# s  l6 G4 q" X1 ^& u# E5 H, t(6)
7 M+ I0 ]& o4 X+ k6 N对于上面恒等式,应有9 i9 W' g% n. m1 |3 X/ D! C  S% l7 I
vi(tx)=Kiv(tx), ai(tx)=Kia(tx), Ji(tx)=KiJ(tx)
) q% B$ k. c. W8 e7 o(7)
; X( v4 J. X% Z6 }8 |) o$ x) q由于tx为任意一点,此式表明段内加减速过程中各插补轴的速度、加速度和Jerk分别与合成的速度、加速度和Jerk对应成比例。当对合成速度按S曲线规划时,各插补轴在保证空间轨迹的同时,也按S曲线进行加减速,即S曲线加减速可用于前加减速控制。同时,上述关系可用于各插补轴的速度、加速度和Jerk的极限值检查。
4 |! d2 {1 }' `  V6 y* }4 |5 G# RS加减速的插补递推公式* g9 I0 @) H( l9 p
设插补周期为T,则在第k个插补周期结束时的合成位移Sk为
; r8 S  ~# B! g- v6 u" j2 h" Y( y- b( X- Q
tk
8 r+ U9 ]9 P, \8 h" b0 ^v(t)dt=
- z: Z9 k) X  d
5 p) ?  v# G& n9 W! e1 Y) \7 jtk-1: w/ o5 H/ |, e' K. u) @. c
v(t)dt+6 P- O- R, ?2 a' [% _; Q

3 K5 t! C( C* \; Y6 S% H: Ttk-1+T
/ x$ M6 a* V. e  yv(t)dt=Sk-1, D$ k0 q9 T! Z* j+ k+ w  I

" D6 T1 T  M9 a! C) V- Wt
# a" X% I8 S% [0 f9 M(vk-1+ak-1t+½Jt2)dt  P! [) \. h  c  h! d# `7 d
=Sk-1+vk-1T+½ak-1T2+(1/6)JT3
- o; t; @& k* Q  [0+ k' U+ a! v, T* Y; d2 G5 ?. c% x; D
0! O! u+ Y  L! b: P9 ]% Q2 o. v
tk-1
1 M+ g- q+ H4 E6 V2 O* C  l0+ v+ I; C* A# I. I2 O
第k个插补周期内的合成位移增量为3 T+ y- h$ L" a) B8 R$ g( R
∆Sk=vk-1T+(1/2)ak-1T2+(1/6)JT3=vk-1T+(1/2)(ak-1+(1/3)JT)T2=vk-1+(1/2)akT2=(vk-1+(1/2)akT)=vkT
$ I9 P9 Y6 N8 N* ^1 _; _# |% K6 X- d(9)
" z% M! i5 N8 e( Pak=ak-1+(1/3)JT
& z' O2 q& P+ I: u% }% G(10)
2 T8 F0 C7 o3 o+ O; o) \vk=vk-1+(1/2)akT4 M/ [; V" O4 [3 f6 ^
(11)
9 h: h  b4 f. d注意,上述递推公式是分区适应的,即
1 n; }" V  d! e7 a; \3 g3 _" CJ=  l  j* t" |' s9 I  c2 o
{
4 R( ~( }& i  N3 `. ^: C: uJ, T∈[t0,t1]∪t6,t7
8 s: a/ Z5 W% N$ `0, t∈(t1,t2)∪(t3,t4)∪(t5,t6)
% e# H9 ~) V& D) z-J, t∈[t2,t3]∪[t4,t5], I0 U- I7 B* G
只要初始条件ak-1和vk-1给定,则可推导出各插补周期的合成位移增量。进而得到各插补轴在插补周期内的位移增量,其公式为" N. D% k, M. w% m: v4 b
∆Pik=: r' m$ A% f. R) g
Pi
4 P; u( g6 i' `' l: d∆Sk=Ki∆Sk
3 H5 s! h. F+ v* |$ z5 Z+ RP8 n+ [0 p% P1 K4 k+ a; Y8 E
区间的判别, {- h& ~9 m9 h( D5 |1 J
段内加减速时,每程序段伺服电动机速度总要减到零后再执行下一程序段。因此其加速段和减速段的位移相等,见图1。
8 G; R9 P0 Y# b: ^4 j1 P8 D1区(t0-t1)的初始速度和初始加速度为0,则在t1时刻的位移Pti=(1/6)Jt13,其加速度a1=A=Jts,速度Vt1=(1/2)At12=(1/2)Ats,则1 Q* C2 e8 {% D7 |
ts=t1=A/J9 b/ [) ^* {' H; G, F; z# m' |
(14)
/ [, I2 Z8 j) A" O7 z; W) ?由图1中的加速度图线可以看出
: f8 j" a- h- T0 ^3 m6 cV=(1/2)Ats+Atl+(1/2)Ats=A(ts+tl)
+ S' b$ S2 |7 h( d" i) s) u5 u(15)" G+ Q0 L: B4 E$ b+ K! `$ e
tl=(V/A)-(A/J)
% r4 z5 t+ A( W3 C/ |4 u0 n. t(16)
" e* u1 R' U5 Hta=2ts+tl=(V/A)+(A/J)& ?  y( p1 P, k; u9 `8 m6 V
(17)- s$ b7 B6 B9 v* o1 Z3 l+ O3 x
2008321141320.gif 2 {+ g' Y$ L( P6 c. U
图2 插补计算流程框图4 X8 n( K& c/ ~3 {1 v
∆S=P-% {/ ]: z, V' o5 C4 p3 |
k
" O3 k- @4 R+ \& r8 L, V0 q6 ]∆Sk8 d/ F6 ]1 V$ V- l" W
+ s# S  e8 R# j1 k; Y
1- R3 s- n' ^9 }) {$ x
∆Si=Pi-
3 U# U6 N4 l9 s  U3 K7 }9 hk" ]  z6 e$ P2 g- {* p
∆Pik9 [! Y$ S" Y1 E% u8 @4 r/ E
/ Z' {* f5 }: R( b! Z: B4 D
1
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